भिन्न

भिन्नों के साथ गणना करना

दो भिन्नों को जोड़ना, घटाना, गुणा करना, या भाग देना उन्हें एक ही सरलीकृत परिणाम में जोड़ता है। दो भिन्न दर्ज करें और एक संक्रिया चुनें, और यह कैलकुलेटर सरलीकृत परिणाम, इसका दशमलव समकक्ष, और जब परिणाम एक अनुचित भिन्न (अंश हर से बड़ा) हो तो एक मिश्रित-संख्या रूप लौटाता है। हर भिन्न में एक वैकल्पिक पूर्ण-संख्या फ़ील्ड भी होता है, इसलिए 1 1/2 जैसी मिश्रित संख्या को पहले अनुचित भिन्न 3/2 में बदलने के बजाय सीधे दर्ज किया जा सकता है।

एक दूसरा मोड, “एक दशमलव को भिन्न में बदलें”, विपरीत दिशा में जाता है: कोई भी दशमलव दर्ज करें और उसकी सबसे सरल समकक्ष भिन्न वापस पाएं — एक माप या कैलकुलेटर के दशमलव आउटपुट को एक ऐसी भिन्न में बदलने के लिए उपयोगी जिसे आप वास्तव में एक टेप माप या रेसिपी पर चिह्नित कर सकते हैं।

सूत्र

जोड़ या घटाव पहले क्रॉस-गुणा करके एक सामान्य हर खोजता है:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} + \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d} + \vC{c} \times \vB{b}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

गुणा सीधे आर-पार गुणा करता है:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \times \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vC{c}}{\vB{b} \times \vD{d}}$$

भाग दूसरी भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करता है:

$$\frac{\vA{a}}{\vB{b}} \div \frac{\vC{c}}{\vD{d}} = \frac{\vA{a} \times \vD{d}}{\vB{b} \times \vC{c}}$$

फिर हर परिणाम को अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करके उसके सबसे सरल रूप में घटाया जाता है।

एक दशमलव को भिन्न में बदलना एक निरंतर-भिन्न विस्तार का उपयोग करता है — किसी दिए गए दशमलव के करीब अनुमानित होने वाली सबसे सरल भिन्न खोजने की मानक विधि, न कि केवल दशमलव बिंदु के बाद के अंकों को पढ़ना (जो 0.333333 जैसी दोहराई जाने वाली दशमलव को 333333/1000000 जैसी बदसूरत भिन्न में बदल देगा, न कि वास्तविक 1/3 में जिसे यह अनुमानित कर रही है)।

हल किया गया उदाहरण

1/2 और 1/3 को जोड़ना:

1. सामान्य हर: $2 \times 3 = 6$।
2. अंश: $1 \times 3 + 1 \times 2 = 5$।
3. परिणाम: $\frac{5}{6}$ (पहले से सबसे सरल रूप में) — लगभग 0.8333।

इसके बजाय 1/2 और 2/3 जोड़ने पर एक अनुचित भिन्न मिलती है: $\frac{7}{6}$, जिसे यह कैलकुलेटर मिश्रित संख्या 1 1/6 के रूप में भी दिखाता है।

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• सबसे सरल रूप में सरलीकृत करना हमेशा एक समतुल्य मान देता है, केवल एक “साफ-सुथरी दिखने वाली” संख्या नहीं। 5/10 को 1/2 में घटाना यह नहीं बदलता कि यह किसी पूर्ण का कितना अंश दर्शाता है — दोनों बिल्कुल समान मात्रा का वर्णन करते हैं, बस छोटी संख्याओं के साथ व्यक्त किया गया है, यही कारण है कि सरलीकृत रूप को आवश्यकता के बजाय परंपरा से पसंद किया जाता है।
• जोड़ने या घटाने के लिए क्रॉस-गुणा करना किसी भी दो भिन्नों के लिए काम करता है, लेकिन हमेशा सबसे कुशल विधि नहीं है। लघुत्तम समापवर्त्य हर खोजना (केवल दोनों हरों को एक साथ गुणा करने के बजाय, जो यह कैलकुलेटर का क्रॉस-गुणा दृष्टिकोण सरलीकरण से पहले करता है) कभी-कभी छोटी मध्यवर्ती संख्याओं को शामिल कर सकता है — लेकिन दोनों विधियाँ हमेशा उसी अंतिम, सरलीकृत उत्तर पर मिलती हैं।
• एक ऋणात्मक भिन्न वही नियमों का पालन करती है, हर संक्रिया के माध्यम से चिह्न को ट्रैक करते हुए। अलग-अलग चिह्नों (एक धनात्मक, एक ऋणात्मक) वाली भिन्नों को गुणा या भाग करने पर एक ऋणात्मक परिणाम मिलता है, सामान्य गुणा और भाग के समान चिह्न नियमों का पालन करते हुए।
• किसी भिन्न से भाग देना उसके व्युत्क्रम से गुणा करने के समान है, एक नियम जो इस कैलकुलेटर से परे भी याद रखने लायक है। भिन्न भाग के लिए यह “पलटो और गुणा करो” शॉर्टकट सीधे गुणा के व्युत्क्रम के रूप में भाग की परिभाषा से आता है, और यह लागू होता है चाहे आप हाथ से भाग कर रहे हों या इस जैसे किसी उपकरण का उपयोग कर रहे हों।

सामान्य गलतियाँ

• अंश और हर को सीधे जोड़कर भिन्नों को जोड़ना या घटाना। जैसा कि ऊपर बताया गया है, अंशों को जोड़ने से पहले भिन्नों को एक सामान्य हर की आवश्यकता होती है — 1/2 + 1/3 को (1+1)/(2+3) के रूप में जोड़ने पर सही 5/6 के बजाय गलत उत्तर (2/5) मिलता है।
• अंतिम परिणाम को सरल बनाना भूल जाना। जैसा कि ऊपर बताया गया है, 4/8 जैसा असरलीकृत उत्तर गणितीय रूप से सही है लेकिन अधिकांश संदर्भों में अपेक्षित पारंपरिक सबसे सरल रूप (1/2) में नहीं है — परिणाम को अंतिम मानने से पहले हमेशा सबसे बड़े सामान्य भाजक से घटाएं।
• भाग देते समय गलत भिन्न को पलटना। जैसा कि ऊपर बताया गया है, किसी भिन्न से भाग देने का अर्थ है उस भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करना — दूसरी भिन्न के बजाय पहली भिन्न को पलटने से सही उत्तर का व्युत्क्रम मिलता है, स्वयं उत्तर नहीं।
• दशमलव बिंदु के बाद के अंकों को केवल पढ़कर दशमलव को भिन्न में बदलना। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह एक समाप्त होने वाले दशमलव के लिए काम करता है लेकिन एक दोहराए जाने वाले दशमलव के लिए अनावश्यक रूप से बड़ी, असरलीकृत भिन्न उत्पन्न करता है — 0.333333 को शाब्दिक रूप से पढ़ने पर यह वास्तविक 1/3 के बजाय 333333/1000000 बन जाता है जिसका यह अनुमान लगा रहा है।

जानने योग्य बातें

• एक मिश्रित संख्या और उसका अनुचित-भिन्न रूप हमेशा समान मान का प्रतिनिधित्व करते हैं — 1 1/2 और 3/2 एक समान मात्रा लिखने के दो अलग-अलग तरीके हैं, जो अलग-अलग संदर्भों के लिए उपयोगी हैं (एक रेसिपी मिश्रित संख्या के रूप में अधिक स्वाभाविक रूप से पढ़ी जाती है, जबकि आगे का गणित अक्सर अनुचित भिन्न के साथ आसान होता है)।
• किसी भिन्न को सरल बनाने के लिए उपयोग किया जाने वाला महत्तम समापवर्तक वही GCF है जिसकी गणना GCF/LCM कैलकुलेटर करता है — यदि आप इस चरण को अलग से हल होते देखना चाहते हैं तो वहां जांचना उचित है।
• यह कैलकुलेटर स्वाभाविक रूप से अनुपात कैलकुलेटर (दो मात्राओं को संयोजित करने के बजाय उनकी तुलना करने के लिए) और लंबा भाग कैलकुलेटर (उस भाग प्रक्रिया के लिए जिससे भिन्न का दशमलव समकक्ष आता है) के साथ जुड़ता है।