रैखिक प्रक्षेप

दो ज्ञात बिंदुओं के बीच एक मान का अनुमान लगाना

रैखिक प्रक्षेप दो ज्ञात बिंदुओं के बीच एक अज्ञात मान का अनुमान लगाता है, उनके बीच एक रैखिक संबंध मानते हुए। दो ज्ञात बिंदु (x, y) और वह x मान दर्ज करें जिसके लिए आप अनुमान चाहते हैं, और यह कैलकुलेटर संबंधित y ज्ञात करता है।

सूत्र

$$\vC{y} = y_1 + (x - x_1) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

जहां $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ आपके दो ज्ञात बिंदु हैं और $x$ वह मान है जिसके लिए आप अनुमान चाहते हैं।

हल किया गया उदाहरण

एक कार 2 घंटे पर 50 मील पर है, और 5 घंटे पर 140 मील पर है। वह 3.5 घंटे पर कहां थी?

1. $y = 50 + (3.5 - 2) \cdot \frac{140 - 50}{5 - 2} = 50 + 1.5 \cdot 30 = \vC{95 \text{ मील}}$

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• दो बिंदुओं के बीच प्रक्षेप करना आमतौर पर उनसे परे एक्सट्रापोलेट करने की तुलना में अधिक विश्वसनीय है। आपके दो ज्ञात बिंदुओं के बीच आने वाला एक लक्ष्य x मान उस सीमा के भीतर रहता है जिसमें संबंध वास्तव में देखा गया था, जबकि उस सीमा से बाहर का एक लक्ष्य मानता है कि वही सीधी-रेखा प्रवृत्ति अपरिवर्तित जारी रहती है — एक धारणा जो ज्ञात सीमा से जितना दूर जाती है उतनी ही जोखिम भरी हो जाती है।
• यह विधि एक वास्तव में रैखिक संबंध के लिए सटीक है, और अन्यथा केवल एक सन्निकटन है। स्थिर गति, एक निश्चित दर, या कोई वास्तव में सीधी-रेखा संबंध वाली एक भौतिक प्रक्रिया इस सूत्र के माध्यम से एक सटीक उत्तर देती है — लेकिन अधिकांश वास्तविक-दुनिया की प्रक्रियाएं (जैसे चक्रवृद्धि वृद्धि या त्वरण) वास्तव में मुड़ती हैं, इसलिए आपके दो ज्ञात बिंदु जितने दूर हैं, एक सीधी-रेखा अनुमान उनके बीच वास्तविकता से उतना ही अधिक भटक सकता है।
• संदर्भ तालिकाएं (जैसे इंजीनियरिंग में लुकअप तालिकाएं, स्टीम तालिकाएं, या एक्चुरियल तालिकाएं) आमतौर पर सूचीबद्ध मानों के बीच रैखिक प्रक्षेप पर निर्भर करती हैं। हर संभावित इनपुट मान प्रकाशित करने के बजाय, एक तालिका ज्ञात बिंदुओं का एक प्रबंधनीय सेट सूचीबद्ध करती है और पाठक से उनके बीच प्रक्षेप करने की अपेक्षा करती है — यह इस सटीक तकनीक के सबसे सामान्य व्यावहारिक उपयोगों में से एक है।
• एक तीसरा ज्ञात बिंदु जोड़ने से यह पता चल सकता है कि रैखिकता वास्तव में एक उचित धारणा है या नहीं। यदि आपको ज्ञात एक तीसरा बिंदु अन्य दो के बीच खींची गई रेखा के करीब आता है, तो उस सीमा में रैखिक प्रक्षेप शायद विश्वसनीय है — यदि यह उस रेखा से बहुत दूर आता है, तो अंतर्निहित संबंध संभवतः मुड़ता है और एक सीधी-रेखा अनुमान को अधिक सावधानी से माना जाना चाहिए।

सामान्य गलतियाँ

• ज्ञात सीमा से बहुत दूर एक्सट्रापोलेट करना और परिणाम को प्रक्षेप जितना ही विश्वसनीय मानना। आपके दो ज्ञात बिंदुओं के बाहर का एक लक्ष्य मान यह मानता है कि प्रवृत्ति अपरिवर्तित जारी रहती है — यह वास्तव में उनके बीच आने वाले मान का अनुमान लगाने से कहीं अधिक जोखिम भरी धारणा है।
• यह जांचे बिना एक रैखिक संबंध मान लेना कि वास्तविक प्रक्रिया वाकई रैखिक है या नहीं। चक्रवृद्धि वृद्धि या त्वरण जैसी प्रक्रियाएं सीधी रेखा का अनुसरण करने के बजाय मुड़ती हैं, इसलिए एक रैखिक अनुमान काफी गलत हो सकता है, खासकर ज्ञात बिंदुओं से दूर।
• यह भ्रमित करना कि कौन सा ज्ञात बिंदु कौन सा है। सूत्र में x1/y1 को x2/y2 से बदलने पर एक अलग (और गलत) ढलान मिलती है — दोबारा जांच लें कि प्रत्येक ज्ञात बिंदु के x और y मान सही ढंग से एक साथ दर्ज किए गए हैं।
• दो ऐसे ज्ञात बिंदुओं का उपयोग करना जो एक-दूसरे से बहुत दूर हैं, जबकि अंतर्निहित संबंध रैखिक नहीं है। आपके दो बिंदुओं के बीच जितना बड़ा अंतर होगा, एक वक्र के लिए उन्हें जोड़ने वाली सीधी रेखा से भटकने के लिए उतनी ही अधिक जगह होगी — करीबी, अधिक प्रासंगिक ज्ञात बिंदु आमतौर पर अधिक विश्वसनीय अनुमान देते हैं।

जानने योग्य बातें

• क्या आपके पास केवल दो के बजाय कई डेटा बिंदु हैं, और आप उन सभी में सबसे अच्छी तरह फिट होने वाली एक रेखा चाहते हैं? न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन कैलकुलेटर कैलकुलेटर उस व्यापक मामले को संभालता है।
• क्या आपको तीसरे बिंदु पर अनुमानित मान के बजाय दो बिंदुओं के बीच ढलान चाहिए? दूरी, मध्यबिंदु और ढलान कैलकुलेटर कैलकुलेटर इसे सीधे कवर करता है।