लघुगणक

किसी दी गई संख्या को उत्पन्न करने वाली घात ज्ञात करना

एक लघुगणक इस प्रश्न का उत्तर देता है “इस संख्या को पाने के लिए मुझे आधार को किस घात तक उठाने की आवश्यकता है?” एक मान और एक आधार दर्ज करें, और यह कैलकुलेटर लघुगणक ज्ञात करता है, साथ ही उसी मान को आधार 10, प्राकृतिक लघुगणक (ln), और आधार 2 में।

सूत्र

$$\vC{\log_b(x)} = \frac{\vA{\ln(x)}}{\vB{\ln(b)}}$$

जहाँ $x$ मान है और $b$ आधार है — यह आधार-परिवर्तन सूत्र है, क्योंकि अधिकांश कैलकुलेटरों में केवल प्राकृतिक ($\ln$) लघुगणक के लिए अंतर्निहित फ़ंक्शन होते हैं।

हल किया गया उदाहरण

8 का आधार 2 लघुगणक:

1. $\vC{\log_2(8)} = \frac{\vA{\ln(8)}}{\vB{\ln(2)}} = \frac{2.079}{0.693} \approx \vC{3}$ — क्योंकि $2^3 = 8$.

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• लघुगणक केवल धनात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित होते हैं (और 1 के अलावा किसी भी धनात्मक आधार के लिए)। शून्य या ऋणात्मक संख्या के लघुगणक का कोई वास्तविक-संख्या उत्तर नहीं होता — यह इस तथ्य को दर्शाता है कि किसी भी वास्तविक घात तक उठाया गया एक धनात्मक आधार हमेशा एक धनात्मक परिणाम उत्पन्न करता है, इसलिए कोई वास्तविक घातांक नहीं है जो कभी शून्य या ऋणात्मक संख्या उत्पन्न कर सके।
• लॉगरिदमिक स्केल उन मात्राओं के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं जो एक विशाल सीमा तक फैली होती हैं। भूकंप की तीव्रता के लिए रिक्टर स्केल, ध्वनि के लिए डेसिबल स्केल, और अम्लता के लिए pH स्केल सभी लॉगरिदमिक हैं — हर पूर्ण-संख्या चरण अंतर्निहित मात्रा में दस गुना (या इसी तरह का बड़ा) परिवर्तन दर्शाता है, यही कारण है कि इन स्केलों में एक “छोटा” अंतर एक विशाल वास्तविक-दुनिया के अंतर का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
• आधार 10, आधार e (प्राकृतिक लघुगणक), और आधार 2 प्रत्येक अलग-अलग कारणों से अलग-अलग क्षेत्रों में दिखाई देते हैं। आधार 10 दशमलव संख्या प्रणाली और रोज़मर्रा के स्केलों के साथ स्वाभाविक रूप से मेल खाता है; आधार e कैलकुलस और निरंतर वृद्धि/क्षय (जैसे निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज) में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है; आधार 2 कंप्यूटर विज्ञान में मौलिक है, जहां मात्राएं अक्सर दोगुनी होती हैं (जैसे डेटा स्टोरेज या बाइनरी सर्च चरण)।
• मुख्य लघुगणक सर्वसमिकाएं आपको जटिल अभिव्यक्तियों को सरल भागों में तोड़ने देती हैं। log(a×b) = log(a) + log(b), और log(aⁿ) = n×log(a) — ये नियम ही कारण हैं कि कैलकुलेटर के अस्तित्व में आने से बहुत पहले, ऐतिहासिक रूप से लघुगणक का उपयोग कठिन गुणन और घातांक समस्याओं को सरल जोड़ में बदलने के लिए किया जाता था।

सामान्य गलतियाँ

• शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक लेने का प्रयास करना। धनात्मक आधार पर लागू कोई भी वास्तविक घातांक कभी भी शून्य या ऋणात्मक परिणाम उत्पन्न नहीं कर सकता, इसलिए इन इनपुट का कोई वास्तविक-संख्या उत्तर नहीं है — यह कैलकुलेटर मान लौटाने के बजाय इन्हें अमान्य के रूप में चिह्नित करेगा।
• सूत्र या पाठ्यपुस्तक पढ़ते समय “log” को “ln” के साथ भ्रमित करना। सादा “log” पारंपरिक रूप से रोज़मर्रा और इंजीनियरिंग संदर्भों में आधार 10 का अर्थ रखता है, लेकिन कई गणित और कंप्यूटर विज्ञान के पाठ इसका उपयोग इसके बजाय प्राकृतिक लघुगणक (आधार e) के अर्थ में करते हैं — हमेशा जांचें कि कोई स्रोत किस परंपरा का उपयोग कर रहा है, इसे मान लेने के बजाय।
• यह भूल जाना कि लघुगणक का आधार धनात्मक होना चाहिए और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। 1 का आधार उसकी हर घात को 1 के बराबर बना देगा, इसलिए किसी अन्य मान को उत्पन्न करने वाला घातांक हल करने का कोई तरीका नहीं है — और एक ऋणात्मक आधार बारी-बारी से धनात्मक/ऋणात्मक परिणाम उत्पन्न करता है जो वास्तविक-संख्या लघुगणक को पूरी तरह से तोड़ देता है।
• लॉगरिदमिक स्केल को ऐसे पढ़ना जैसे कि वह रैखिक हो। रिक्टर स्केल पर 2 अंकों का अंतर दोगुना मजबूत नहीं है — यह लगभग 1,000 गुना अधिक ऊर्जा उत्सर्जन है, क्योंकि प्रत्येक पूर्ण-संख्या चरण आयाम में दस गुना परिवर्तन (और ऊर्जा में लगभग 31.6 गुना परिवर्तन) दर्शाता है।

जानने योग्य बातें

• क्या आपको विपरीत संक्रिया चाहिए — घातांक ज्ञात करने के बजाय आधार को किसी घात तक उठाना? घातांक कैलकुलेटर उस दिशा को संभालता है।
• क्या आप किसी लॉगरिदमिक क्षय प्रक्रिया, जैसे रेडियोधर्मी अर्ध-आयु, पर काम कर रहे हैं? अर्ध-आयु / रेडियोधर्मी क्षय कैलकुलेटर उसी प्राकृतिक-लघुगणक गणित को एक क्षय-विशिष्ट हल किए गए उदाहरण पर लागू करता है।
• क्या आपको त्रिकोणमिति और अन्य फ़ंक्शनों के साथ लघुगणक वाला एक अधिक संपूर्ण वैज्ञानिक कैलकुलेटर चाहिए? वैज्ञानिक कैलकुलेटर व्यापक टूलकिट को कवर करता है।