वर्गमूल / N-वाँ मूल

किसी संख्या का nवाँ मूल ज्ञात करना

एक संख्या का nवाँ मूल वह मान है जो, n घात तक उठाए जाने पर, मूल संख्या वापस देता है। एक संख्या और मूल की डिग्री (वर्गमूल के लिए 2, घनमूल के लिए 3, और इसी तरह) दर्ज करें, और यह कैलकुलेटर उस मान को खोजता है।

एक वर्गमूल (डिग्री 2) और एक घनमूल (डिग्री 3) दो सबसे सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले मामले हैं, लेकिन वही विचार किसी भी पूर्ण-संख्या डिग्री तक फैलता है। एक ऋणात्मक संख्या का वास्तविक nवाँ मूल केवल तभी होता है जब डिग्री विषम हो — एक ऋणात्मक संख्या का सम मूल (जैसे एक सामान्य वर्गमूल) बिल्कुल भी वास्तविक संख्या नहीं है, क्योंकि कोई वास्तविक संख्या स्वयं से सम संख्या बार गुणा होकर कभी ऋणात्मक परिणाम नहीं दे सकती।

सूत्र

$$\sqrt[\vB{n}]{\vA{x}} = \vA{x}^{\frac{1}{\vB{n}}}$$

जहाँ $\vA{x}$ संख्या है और $\vB{n}$ मूल की डिग्री है। उत्तर की जाँच करना सीधा है: परिणाम को वापस $\vB{n}$वीं घात तक उठाने से $\vA{x}$ फिर से मिलना चाहिए।

हल किया गया उदाहरण

1. वर्गमूल: $\sqrt{\vA{144}} = 12$, क्योंकि $12^2 = 144$।
2. घनमूल: $\sqrt[3]{\vA{27}} = 3$, क्योंकि $3^3 = 27$।
3. ऋणात्मक संख्या, विषम डिग्री: एक वास्तविक उत्तर अभी भी मौजूद है — $\sqrt[3]{\vA{-8}} = -2$, क्योंकि $(-2)^3 = -8$।
4. ऋणात्मक संख्या, सम डिग्री: एक ऋणात्मक संख्या का सम मूल, जैसे $\sqrt{-8}$, का कोई वास्तविक उत्तर नहीं है — यह कैलकुलेटर एक भ्रामक परिणाम लौटाने के बजाय उस मामले को चिह्नित करता है।

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• एक धनात्मक संख्या के तकनीकी रूप से दो वास्तविक वर्गमूल होते हैं, हालांकि डिफ़ॉल्ट रूप से आमतौर पर केवल धनात्मक वाला ही मतलब होता है। 12 और -12 दोनों का वर्ग 144 है, लेकिन ”√” प्रतीक पारंपरिक रूप से धनात्मक (प्रमुख) मूल को संदर्भित करता है — यह कैलकुलेटर, मानक गणितीय परंपरा की तरह, प्रमुख मूल लौटाता है।
• मूल और घातांक एक-दूसरे के सटीक व्युत्क्रम हैं, यही कारण है कि भिन्नात्मक-घातांक सूत्र काम करता है। किसी संख्या का nवाँ मूल लेना गणितीय रूप से इसे 1/n की घात तक उठाने के समान है — यह ठीक वही संबंध है जिसे घातांक कैलकुलेटर विपरीत दिशा में उपयोग करता है, और एक को समझना दूसरे को समझने में मदद करता है।
• ऋणात्मक संख्याओं के सम-डिग्री मूल सम्मिश्र संख्या प्रणाली में मौजूद होते हैं, बस इस कैलकुलेटर द्वारा गणना की गई वास्तविक संख्याओं में नहीं। एक सम मूल तक उठाई गई एक ऋणात्मक संख्या गणितीय रूप से एक “काल्पनिक” परिणाम उत्पन्न करती है — यह कैलकुलेटर जानबूझकर वास्तविक-संख्या उत्तरों तक सीमित है, जो अधिकांश रोज़मर्रा और व्यावहारिक मूल गणनाओं के लिए वास्तव में सार्थक है उससे मेल खाता है।
• उच्च-डिग्री मूल अंतर्निहित संख्या की तुलना में कहीं अधिक धीरे-धीरे बढ़ते हैं। जैसे-जैसे एक संख्या बड़ी होती जाती है, उसका वर्गमूल संख्या स्वयं की तुलना में धीमी गति से बढ़ता है, उसका घनमूल और भी धीमी गति से बढ़ता है, और उच्च डिग्री के लिए इसी तरह — यह घटती-वृद्धि गुण ही कारण है कि सांख्यिकी और डेटा विश्लेषण में मूल का उपयोग आमतौर पर मानों की एक विस्तृत श्रृंखला को एक अधिक प्रबंधनीय पैमाने में “संपीड़ित” करने के लिए किया जाता है।

सामान्य गलतियाँ

• ऋणात्मक संख्या के सम मूल से वास्तविक उत्तर की अपेक्षा करना। वर्गमूल, चतुर्थ मूल, या ऋणात्मक संख्या का कोई अन्य सम मूल का कोई वास्तविक हल नहीं होता — यह कैलकुलेटर गलत संख्या चुपचाप लौटाने के बजाय उस मामले को चिह्नित करता है।
• यह भूल जाना कि प्रमुख वर्गमूल केवल धनात्मक होता है। 12 और -12 दोनों का वर्ग 144 है, लेकिन “√144” पारंपरिक रूप से केवल धनात्मक मूल का अर्थ रखता है — यह न मान लें कि ऋणात्मक मूल स्वतः शामिल है।
• मूल की डिग्री को उस संख्या के साथ भ्रमित करना जिसका मूल निकाला जा रहा है। डिग्री और संख्या को गलत फ़ील्ड में दर्ज करने से पूरी तरह से अलग (और आमतौर पर बहुत बड़ा या छोटा) उत्तर मिलता है — परिणाम पढ़ने से पहले जांच लें कि कौन सा फ़ील्ड कौन सा है।

जानने योग्य उपयोगी बातें

• विपरीत दिशा में जाने की आवश्यकता है — मूल खोजने के बजाय किसी संख्या को घात तक उठाना? घातांक कैलकुलेटर उस व्युत्क्रम संक्रिया को संभालता है।
• मूल और घातांक के साथ-साथ लघुगणक के साथ काम कर रहे हैं? लघुगणक कैलकुलेटर उसी गणितीय संबंध का तीसरा भाग है।
• अधिक जटिल व्यंजक के लिए पूर्ण वैज्ञानिक कैलकुलेटर चाहिए? वैज्ञानिक कैलकुलेटर एक ही व्यंजक में मूल, घातांक, और बहुत कुछ का समर्थन करता है।