Квадратный и N-ный Корень

Как Найти Корень n-й Степени из Числа

Корень n-й степени из числа — это значение, которое при возведении в n-ю степень даёт исходное число. Введите число и степень корня (2 для квадратного корня, 3 для кубического и так далее), и этот калькулятор найдёт это значение.

Квадратный корень (степень 2) и кубический корень (степень 3) — два наиболее часто используемых случая, но та же идея распространяется на любую целочисленную степень. Отрицательное число имеет действительный корень n-й степени только при нечётной степени — чётный корень (например, обычный квадратный корень) из отрицательного числа вообще не является действительным числом, поскольку ни одно действительное число, умноженное само на себя чётное количество раз, никогда не может дать отрицательный результат.

Формула

$$\sqrt[\vB{n}]{\vA{x}} = \vA{x}^{\frac{1}{\vB{n}}}$$

где $\vA{x}$ — это число, а $\vB{n}$ — степень корня. Проверить ответ просто: возведение результата обратно в степень $\vB{n}$ должно воспроизвести $\vA{x}$.

Пример Расчёта

1. Квадратный корень: $\sqrt{\vA{144}} = 12$, поскольку $12^2 = 144$.
2. Кубический корень: $\sqrt[3]{\vA{27}} = 3$, поскольку $3^3 = 27$.
3. Отрицательное число, нечётная степень: действительный ответ всё же существует — $\sqrt[3]{\vA{-8}} = -2$, поскольку $(-2)^3 = -8$.
4. Отрицательное число, чётная степень: чётный корень из отрицательного числа, например $\sqrt{-8}$, не имеет действительного ответа — этот калькулятор отмечает такой случай, а не возвращает вводящий в заблуждение результат.

Ключевые Факторы, Которые Следует Учитывать

• Положительное число технически имеет два действительных квадратных корня, хотя по умолчанию обычно имеют в виду только положительный. И 12, и -12 в квадрате дают 144, но символ «√» по соглашению обозначает положительный (главный) корень — этот калькулятор, следуя стандартному математическому соглашению, возвращает главный корень.
• Корни и показатели степени являются точными обратными операциями друг друга, именно поэтому работает формула с дробным показателем степени. Взятие корня n-й степени из числа математически идентично возведению его в степень 1/n — это именно та зависимость, которую Калькулятор Показателей Степени использует в обратном направлении, и понимание одного помогает разобраться в другом.
• Корни чётной степени из отрицательных чисел действительно существуют в системе комплексных чисел, просто не в действительных числах, которые вычисляет этот калькулятор. Отрицательное число, возведённое в корень чётной степени, математически даёт «мнимый» результат — этот калькулятор намеренно ограничен ответами в действительных числах, что соответствует тому, что на самом деле имеет смысл для подавляющего большинства повседневных и практических расчётов корней.
• Корни более высокой степени растут гораздо медленнее, чем само исходное число. По мере роста числа его квадратный корень растёт медленнее самого числа, его кубический корень растёт ещё медленнее, и так далее для более высоких степеней — это свойство убывающего роста — причина, по которой корни часто используются для «сжатия» широкого диапазона значений в более удобный масштаб в статистике и анализе данных.

Частые Ошибки

• Ожидание действительного ответа от корня чётной степени из отрицательного числа. Квадратный корень, корень четвёртой степени или любой другой корень чётной степени из отрицательного числа не имеет действительного решения — этот калькулятор отмечает такой случай, а не тихо возвращает неверное число.
• Забывание, что главный квадратный корень — это только положительный. И 12, и -12 в квадрате дают 144, но «√144» по соглашению означает только положительный корень — не считайте, что отрицательный корень включён автоматически.
• Путаница степени корня с числом, из которого извлекается корень. Ввод степени и числа в неправильные поля даёт совершенно другой (обычно намного больший или меньший) ответ — перед чтением результата проверьте, какое поле для чего.

Полезно Знать

• Нужно в обратном направлении — возвести число в степень вместо поиска его корня? Калькулятор Степени выполняет эту обратную операцию.
• Работаете с логарифмами наряду с корнями и показателями степени? Калькулятор Логарифма — третья часть той же математической зависимости.
• Нужен полный научный калькулятор для более сложного выражения? Научный Калькулятор поддерживает корни, степени и многое другое в одном выражении.