Квадратное Уравнение

Решение ax² + bx + c = 0 для Каждого Значения x

Формула корней квадратного уравнения решает относительно x любое уравнение вида ax² + bx + c = 0, используя только три коэффициента уравнения. Введите a, b и c, и этот калькулятор найдёт каждое значение x, при котором уравнение верно — включая случай, когда ответ содержит комплексные, а не действительные числа.

Квадратное уравнение всегда имеет ровно два решения при правильном подсчёте: два различных действительных числа, одно действительное число, учитываемое дважды («кратный корень»), или пара комплексных чисел. Какой именно случай применим, полностью зависит от знака дискриминанта (части под корнем) — этот калькулятор сообщает вам, какой именно, а не просто выдаёт голые числа.

Формула

Для $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (при $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Выражение под корнем, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, называется дискриминантом:

Пример Расчёта

Для $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Дискриминант: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, что положительно, поэтому есть два различных действительных корня.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ или $x = \frac{2}{2} = 1$.

Проверка: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ и $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — оба решения подтверждаются.

Ключевые Факторы, Которые Следует Учитывать

• Решения квадратного уравнения — это именно те точки, где его график (парабола) пересекает ось x. Два различных действительных корня означают, что парабола пересекает ось x в двух точках; кратный корень означает, что она лишь касается оси в одной точке (своей вершине); комплексные корни означают, что парабола вообще никогда не касается оси x, оставаясь полностью выше или ниже неё.
• Один только дискриминант сообщает ХАРАКТЕР решений ещё до дальнейших вычислений. Проверка того, положителен ли, равен ли нулю или отрицателен $b^2 - 4ac$ — быстрый способ заранее узнать, имеет ли уравнение два действительных решения, одно кратное решение или пару комплексно-сопряжённых чисел, не завершая при этом остальную часть формулы.
• Коэффициент a квадратного уравнения никогда не может быть равен нулю, иначе уравнение перестаёт быть квадратным. Если a = 0, член $x^2$ полностью исчезает, и уравнение становится линейным (не более одного решения, находимого простой алгеброй) вместо квадратного — именно поэтому сама формула корней квадратного уравнения применима и нужна только тогда, когда a не равно нулю.
• Комплексные корни всегда идут парами сопряжённых чисел для квадратного уравнения с действительными коэффициентами. Когда дискриминант отрицателен, два решения всегда имеют вид $p + qi$ и $p - qi$ (одинаковые действительные части, противоположные по знаку мнимые части) — эта парность является прямым следствием знака ± в формуле, применённого к отрицательному числу под корнем.

Частые Ошибки

• Забыть про ± и указать только один корень. Знак ± в формуле корней квадратного уравнения означает, что нужно выполнить два отдельных вычисления (одно с +, другое с -) — остановка после первого приводит к потере половины ответа всякий раз, когда дискриминант не равен ровно нулю.
• Считать отрицательный дискриминант «отсутствием решения», а не комплексным решением. Отрицательный дискриминант означает, что у уравнения нет ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО решения, но у него всё же есть два действительных комплексных решения — уравнение не является неразрешимым, оно просто неразрешимо в рамках действительных чисел.
• Вводить a = 0 и ожидать квадратичный ответ. Без ненулевого a уравнение является линейным, а не квадратным, и деление на 2a в формуле становится неопределённым — линейное уравнение вместо этого требует простой алгебры.

Полезно Знать

• Нужен только квадратный корень или корень n-й степени, а не решение целого уравнения? Калькулятор Квадратного и N-ного Корня вычисляет квадратные корни и корни n-й степени напрямую.
• Работаете со степенями отдельно? Калькулятор Степени вычисляет степени и корни.
• Нужен более широкий калькулятор для тригонометрии, логарифмов или других функций помимо этого уравнения? Научный Калькулятор охватывает широкий спектр научных вычислений.