Kvadratická Rovnice

Řešení ax² + bx + c = 0 pro Každou Hodnotu x

Kvadratický vzorec vyřeší jakoukoli rovnici tvaru ax² + bx + c = 0 pro x, s použitím jen tří koeficientů rovnice. Zadejte a, b, a c, a tato kalkulačka najde každou hodnotu x, která rovnici splňuje — včetně případu, kdy odpověď zahrnuje komplexní čísla místo reálných.

Kvadratická rovnice má vždy přesně dvě řešení, když jsou počítána správně: dvě odlišná reálná čísla, jedno reálné číslo počítané dvakrát („opakovaný kořen“), nebo pár komplexních čísel. Který případ platí, závisí zcela na znaménku diskriminantu (části pod odmocninou) — tato kalkulačka vám řekne, který máte, ne jen surová čísla.

Formule

Pro $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (s $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Člen pod odmocninou, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, se nazývá diskriminant:

Řešený Příklad

Pro $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Diskriminant: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, což je kladné, takže existují dva odlišné reálné kořeny.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ nebo $x = \frac{2}{2} = 1$.

Kontrola: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ a $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — obě řešení souhlasí.

Klíčové Faktory ke Zvážení

• Řešení kvadratické rovnice jsou přesně tam, kde její graf (parabola) protíná osu x. Dva odlišné reálné kořeny znamenají, že parabola protíná osu x ve dvou bodech; opakovaný kořen znamená, že se osy jen dotkne v jednom bodě (svém vrcholu); komplexní kořeny znamenají, že se parabola osy x vůbec nedotkne, zůstávající zcela nad nebo pod ní.
• Samotný diskriminant vám prozradí POVAHU řešení před jakýmkoli dalším výpočtem. Kontrola, zda je $b^2 - 4ac$ kladné, nulové, nebo záporné, je rychlý způsob, jak předem zjistit, zda má rovnice dvě reálná řešení, jedno opakované řešení, nebo pár komplexně sdružených čísel, aniž byste museli nejprve dokončit zbytek vzorce.
• Koeficient a kvadratické rovnice nikdy nemůže být nula, jinak přestává být kvadratická. Pokud a = 0, člen $x^2$ zcela zmizí a rovnice se stane lineární (nanejvýš jedno řešení, nalezené jednoduchou algebrou) místo kvadratické — proto je kvadratický vzorec sám o sobě platný, a potřebný, pouze když je a nenulové.
• Komplexní kořeny vždy přicházejí ve sdružených párech u kvadratické rovnice s reálnými koeficienty. Když je diskriminant záporný, obě řešení vždy mají tvar $p + qi$ a $p - qi$ (identické reálné části, opačně znaménkové imaginární části) — toto párování je přímým důsledkem ± ve vzorci aplikovaného na záporné číslo pod odmocninou.

Časté Chyby

• Zapomenutí na ± a uvedení pouze jednoho kořene. Znaménko ± v kvadratickém vzorci znamená, že je třeba provést dva samostatné výpočty (jeden s +, jeden s -) — zastavení po prvním z nich vynechá polovinu odpovědi, kdykoli diskriminant není přesně nula.
• Zacházení se záporným diskriminantem jako s „žádným řešením” místo komplexního řešení. Záporný diskriminant znamená, že rovnice nemá ŽÁDNÉ reálné řešení, ale stále má dvě platná komplexní řešení — rovnice není neřešitelná, jen ji nelze vyřešit v oboru reálných čísel.
• Zadání a = 0 a očekávání kvadratické odpovědi. Bez nenulového a je rovnice lineární, ne kvadratická, a dělení vzorce 2a je nedefinované — lineární rovnice potřebuje místo toho jednoduchou algebru.

Užitečné Informace

• Potřebujete jen odmocninu nebo n-tou odmocninu místo řešení celé rovnice? Kalkulačka Odmocniny / N-té Odmocniny počítá druhé odmocniny a n-té odmocniny přímo.
• Pracujete s mocninami samostatně? Kalkulačka Mocnin počítá mocniny a odmocniny.
• Potřebujete širší kalkulačku pro goniometrii, logaritmy nebo jiné funkce nad rámec této rovnice? Vědecká Kalkulačka zvládá celou řadu vědeckých výpočtů.