Statistika

Jak Najít Průměr, Medián, Modus a Rozptyl Datové Sady

Tato kalkulačka najde průměr, medián, modus, rozpětí, rozptyl, a směrodatnou odchylku jakéhokoli seznamu čísel. Vložte nebo napište svá čísla do pole níže — oddělená čárkami, mezerami, nebo novými řádky, v jakékoli kombinaci — a všechny běžné popisné statistiky se vypočítají najednou.

Průměr je aritmetický průměr. Medián je prostřední hodnota, když jsou čísla seřazena (nebo průměr dvou prostředních hodnot, u seznamu sudé délky). Modus je jakákoli hodnota (nebo hodnoty), která se objevuje nejčastěji — pokud se každé číslo objeví přesně jednou, neexistuje modus.

Směrodatná odchylka měří, jak rozptýlená jsou čísla od průměru — malá směrodatná odchylka znamená, že jsou čísla sdružena blízko sebe; velká znamená, že jsou široce rozptýlená. Tato kalkulačka ji uvádí dvěma způsoby: populační směrodatnou odchylku (když jsou vaše čísla celá skupina, na které vám záleží) a výběrovou směrodatnou odchylku (když jsou vaše čísla výběrem použitým k odhadu větší populace) — výběrová verze je mírně větší, korigujíc fakt, že výběr má tendenci podhodnocovat skutečné rozpětí celé populace.

Vzorec

$$\vC{\text{Průměr}} = \frac{\sum \vA{\text{Čísla}}}{\vB{\text{Počet}}}$$ $$\vD{\text{Rozptyl Populace}} = \frac{\sum (\vA{\text{Číslo}} - \vC{\text{Průměr}})^2}{\vB{\text{Počet}}}$$ $$\vD{\text{Rozptyl Výběru}} = \frac{\sum (\vA{\text{Číslo}} - \vC{\text{Průměr}})^2}{\vB{\text{Počet}} - 1}$$ $$\text{Směrodatná Odchylka} = \sqrt{\vD{\text{Rozptyl}}}$$

Populace nebo výběr, podle toho, který rozptyl se použije.

Jediný rozdíl mezi populační a výběrovou verzí je dělení samotným počtem versus počtem mínus jedna (známé jako Besselova korekce) — vše ostatní je identické.

Řešený Příklad

Čísla 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:

1. Počet: $\vB{8}$. Součet: $\vA{40}$. Průměr: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$.
2. Seřazeno: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — medián je průměr dvou prostředních hodnot (4 a 5): $(4 + 5) \div 2 = 4,5$.
3. Modus: 4 (objevuje se třikrát, víc než jakákoli jiná hodnota).
4. Rozpětí: $9 - 2 = 7$.
5. Směrodatná odchylka populace: 2,0. Směrodatná odchylka výběru: ≈2,14.

Klíčové Faktory ke Zvážení

• Průměr a medián mohou vyprávět velmi odlišné příběhy, když má datová sada odlehlé hodnoty nebo je zešikmená. Jediná velmi vysoká nebo velmi nízká hodnota táhne průměr směrem k sobě, zatímco medián zůstává ukotven ke středu seřazených dat bez ohledu na extrémní hodnoty — to je přesně důvod, proč se například medián příjmu domácnosti běžně uvádí místo (nebo vedle) průměrného příjmu, protože hrstka velmi vysokých příjmů by jinak zkreslila průměr směrem nahoru.
• Volba mezi populační a výběrovou směrodatnou odchylkou závisí zcela na tom, co vaše čísla skutečně představují, ne na preferenci. Pokud jsou zadaná čísla CELOU skupinou, na které vám záleží (každý student v konkrétní třídě), použijte populaci. Pokud jsou VÝBĚREM určeným k odhadu větší skupiny (průzkum některých zákazníků určený k reprezentaci všech zákazníků), použijte výběr — výběr nesprávné možnosti systematicky podhodnotí nebo nadhodnotí skutečnou variabilitu.
• Datová sada může mít žádný modus, jeden modus, nebo více modů, na rozdíl od průměru a mediánu, které jsou vždy jedinou hodnotou. Pokud se každá hodnota v seznamu objeví přesně jednou, jednoduše neexistuje žádný modus — a pokud se dvě nebo více hodnot dělí o nejčastější výskyt, datová sada může být skutečně „bimodální“ nebo „multimodální“, což samo o sobě často bývá smysluplný signál o podkladových datech.
• Směrodatná odchylka se nejintuitivněji interpretuje pro zhruba zvonovité (normální) rozdělení, kde zhruba 68 % hodnot padá do jedné směrodatné odchylky od průměru. U dat, která jsou silně zešikmená nebo mají velmi odlišný tvar, je směrodatná odchylka stále platnou mírou rozptylu, ale intuitivní procenta „pravidla 68-95-99,7“ se nevztahují tak čistě.

Časté Chyby

• Ze zvyku vždy používat populační směrodatnou odchylku (nebo vždy výběrovou). Která z nich je správná, závisí zcela na tom, zda zadaná čísla jsou celá skupina, nebo jen její výběr — výběr té nesprávné systematicky podhodnotí nebo nadhodnotí skutečný rozptyl, bez ohledu na to, jak pečlivě je proveden zbytek výpočtu.
• Považovat průměr za „typickou hodnotu”, když jsou data zešikmená. Hrstka neobvykle velkých nebo malých čísel odtahuje průměr od místa, kde se skutečně nachází většina dat — medián bývá poctivější „typickou hodnotou” pro zešikmená data, jako jsou příjmy nebo ceny nemovitostí.
• Zapomínat, že modus může být žádný, jediný, nebo vícenásobný. Předpoklad, že každá datová sada má přesně jeden modus, vede ke zmatku, když seznam nemá žádné opakující se hodnoty (žádný modus) nebo když se o nejčastější výskyt dělí více hodnot (multimodální) — oba případy jsou normální, očekávané výsledky, ne chyby.

Užitečné Informace

• Potřebujete standardizovat jedinou hodnotu vůči známému průměru a směrodatné odchylce místo jejich výpočtu ze seznamu? Kalkulačka Z-Skóre převede jednu hodnotu na z-skóre a percentil.
• Pracujete jen se dvěma čísly a chcete jejich procentuální rozdíl místo úplného popisného statistického rozboru? Kalkulačka Procentuální Chyby a Kalkulačka Procent pokrývají tento jednodušší případ.
• Zajímá vás, jak pravděpodobný je určitý výsledek, místo pouhého popisu datové sady, kterou už máte? Kalkulačka Pravděpodobnosti vypočítá šance jednotlivých i kombinovaných událostí.