Trojúhelník

Řešení Trojúhelníku Ze Tří Známých Hodnot

Trojúhelník je plně určen libovolnými 3 ze svých 6 definujících hodnot — svými 3 délkami stran a 3 vnitřními úhly — pokud je alespoň jedna z nich strana. Zadejte libovolné 3, které již znáte (v jakékoli jednotce vhodné pro strany — kalkulačka převádí interně) a vyřeší zbytek: každou stranu, každý úhel, obvod, plochu, a dvě klasifikace — podle délek stran (rovnostranný, rovnoramenný, nebo různostranný) a podle úhlů (ostroúhlý, pravoúhlý, nebo tupoúhlý). Použijte rozevírací nabídku „Počítá Se“ k výběru, která jedna hodnota se zobrazí jako hlavní odpověď; každá hodnota se stále vypočítá a uvede pod „Čísla“ bez ohledu na to, která je zvýrazněna.

Toto jsou klasické geometrické případy: tři strany (SSS), dvě strany a úhel mezi nimi (SAS), dva úhly a jedna libovolná strana (ASA/AAS), nebo dvě strany a úhel, který mezi nimi není (SSA). Tento poslední případ je obecně skutečně nejednoznačný — stejné dvě délky stran a úhel mimo ně mohou být někdy doplněny do dvou různých platných trojúhelníků — takže to tato kalkulačka označí a místo toho požádá o sevřený úhel nebo třetí stranu, spíše než by tiše hádala.

Ani ne každé tři délky stran mohou skutečně tvořit trojúhelník. „Trojúhelníková nerovnost“ vyžaduje, aby byla každá strana kratší než součet ostatních dvou — tři brčka o délce 1, 2, a 10 se prostě nedají uspořádat tak, aby se setkala ve třech rozích, bez ohledu na to, jak je natočíte. Tato kalkulačka to nejprve zkontroluje a jasně vysvětlí, pokud zadané délky nefungují.

Vzorec

Plocha pochází z Heronova vzorce, s použitím poloviny obvodu $\vD{s}$ (polovina obvodu):

$$\text{Plocha} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

Každý úhel pochází z kosinové věty, řešené pro úhel naproti dané straně — například úhel naproti straně a:

$$\text{Úhel A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

Stejný vzorec, s otočenými stranami, dává úhly B a C. Všechny tři úhly se vždy sečtou na přesně 180°.

Řešený Příklad

Trojúhelník se stranami 7, 8, a 9:

1. Polovina obvodu: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$.
2. Plocha: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26,83$.
3. Úhel naproti straně 7: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48,19°$.
4. Úhel naproti straně 8: $\approx 58,41°$.
5. Úhel naproti straně 9: $\approx 73,40°$ — největší úhel, ale stále pod 90°.

Všechny tři strany mají odlišnou délku a každý úhel je pod 90°, takže je tento trojúhelník různostranný a ostroúhlý.

Klíčové Faktory ke Zvážení

• Dva klasifikační systémy trojúhelníku (podle stran a podle úhlů) jsou od sebe zcela nezávislé. Trojúhelník je vždy přesně jeden z rovnostranný/rovnoramenný/ různostranný A přesně jeden z ostroúhlý/pravoúhlý/tupoúhlý — tyto dva štítky popisují skutečně odlišné vlastnosti, takže trojúhelník správně dostane oba štítky najednou (např. „rovnoramenný a tupoúhlý“ je zcela platná kombinace).
• Případ SSA (strana-strana-úhel) je dobře známá skutečná nejednoznačnost v geometrii trojúhelníku, ne zvláštnost této kalkulačky. Vzhledem ke dvěma stranám a nesevřenému úhlu je matematicky možné, že nula, jeden, nebo dva odlišné trojúhelníky splňují přesně tato měření — to je skutečná vlastnost geometrie trojúhelníku (někdy nazývaná „nejednoznačný případ“ v kurzech trigonometrie), což je důvod, proč tato kalkulačka místo toho žádá o jinou kombinaci vstupů, spíše než by tiše hádala.
• Trojúhelníková nerovnost je rychlý způsob, jak zkontrolovat, zda tři dané délky mohou vytvořit skutečný trojúhelník, ještě než se provede jakýkoli další výpočet. Každá strana musí být striktně kratší než součet ostatních dvou — pokud tato kontrola selže, neexistuje žádný platný trojúhelník s těmito třemi délkami, bez ohledu na to, jak jsou uspořádány.
• Tři vnitřní úhly JAKÉHOKOLI trojúhelníku se vždy sečtou na přesně 180 stupňů, pevný geometrický fakt používaný jako vnitřní kontrola konzistence. Jakmile jsou známy dva úhly, třetí je automaticky určen odečtením od 180° — tato vlastnost pevného součtu je přesně důvod, proč znalost jen dvou úhlů (plus jedné libovolné strany) stačí k úplnému vyřešení trojúhelníku.

Časté Chyby

• Zadání tří úhlů bez jakékoli délky strany. Samotné tři úhly určují pouze tvar trojúhelníku, ne jeho velikost — nekonečně mnoho trojúhelníků sdílí stejné tři úhly, ale liší se měřítkem — proto je vždy potřeba alespoň jedna délka strany, aby vznikla skutečná plocha a sada délek stran, ne jen tvar.
• Záměna toho, který úhel je „sevřený“ v případě SAS. Pro kosinovou větu je důležitý úhel mezi dvěma danými stranami — úhel odjinud z trojúhelníku místo toho vytváří skutečně nejednoznačný případ SSA, který tato kalkulačka označí, místo aby hádala.
• Předpoklad, že libovolná tři kladná čísla mohou tvořit trojúhelník. Sada délek, která neprojde trojúhelníkovou nerovností (jedna strana stejně dlouhá nebo delší než součet ostatních dvou), vůbec nepopisuje skutečný trojúhelník, bez ohledu na to, jak jsou čísla uspořádána.

Užitečné Informace

• Pracujete s plochou trojúhelníku nebo délkami stran jako součástí většího tvaru? Kalkulačka Plochy pokrývá plochu pro řadu běžných 2D tvarů kromě trojúhelníků.
• Potřebujete vzdálenost nebo sklon mezi dvěma souřadnicovými body místo tří známých hodnot trojúhelníku? Kalkulačka Vzdálenosti, Středu a Sklonu to řeší přímo.