Výpočet NSD a NSN
Největší Společný Dělitel (NSD, také nazývaný GCD) množiny čísel je největší číslo, které je dělí beze zbytku všechna, a Nejmenší Společný Násobek (NSN) je nejmenší číslo, které je jimi všemi beze zbytku dělitelné. Zadejte dvě nebo více celých čísel, a tato kalkulačka najde obě okamžitě.
Metoda
NSD se hledá pomocí Eukleidova algoritmu — metody pocházející z doby před více než 2 000 lety: opakovaně dělte větší číslo menším a nahraďte větší zbytkem, dokud zbytek nedosáhne nuly. Poslední nenulová hodnota je NSD.
Jakmile je NSD známo, NSN dvou čísel vyplyne přímo:
Pro více než dvě čísla tato kalkulačka aplikuje obě metody po dvojicích napříč celým seznamem.
Řešený Příklad
Nalezení NSD a NSN čísel 12 a 18:
- Eukleidův algoritmus: 18 ÷ 12 dá zbytek 6; 12 ÷ 6 dá zbytek 0. NSD je .
- .
Klíčové Faktory ke Zvážení
- Dvě čísla s NSD rovným 1 se nazývají „nesoudělná” (koprimní), což je skutečně užitečná klasifikace. Když je NSD 1, obě čísla nesdílejí žádný společný faktor kromě 1 — to má význam v oborech jako kryptografie a teorie čísel, a také to znamená, že jejich NSN je jednoduše jejich součin.
- Eukleidův algoritmus je dramaticky rychlejší než vypisování všech faktorů u velkých čísel. Hledání NSD vypsáním všech faktorů každého čísla a jejich porovnáním se stává u velkých čísel nepraktickým — Eukleidův algoritmus najde odpověď v jen několika málo krocích bez ohledu na to, jak velká čísla jsou, což je přesně důvod, proč je po více než 2 000 letech standardní metodou.
- NSD a NSN se čistě zobecňují na více než dvě čísla, pomocí stejného stavebního bloku po dvojicích. Aplikace vzorce pro dvě čísla napříč seznamem — NSD(NSD(a,b), c), a obdobně pro NSN — správně rozšiřuje oba koncepty na libovolný počet vstupů, což je přesně způsob, jakým tato kalkulačka zpracovává seznam delší než dvě čísla.
- Tyto koncepty se neustále objevují mimo čistou matematiku, v plánování a úlohách rozdělování zdrojů. Kromě zjednodušování zlomků NSN odpovídá na otázku „kdy se dvě opakující se události příště sejdou” (jako jízdní řády autobusů nebo blikající světla), a NSD odpovídá na otázku „na jak velké stejně velké skupiny mohu tyto věci rozdělit” (jako rozdělení předmětů do stejných balíčků beze zbytku).
Časté Chyby
- Záměna, které je NSD a které NSN. Názvy znějí podobně a snadno se zamění — NSD je vždy menší z obou výsledků (společný dělitel, takže nemůže překročit nejmenší vstupní číslo), zatímco NSN je vždy větší (společný násobek, takže je alespoň tak velké jako největší vstupní číslo).
- Předpoklad, že NSD musí být jedním z porovnávaných čísel. Jak bylo uvedeno výše, NSD je největší číslo, které dělí beze zbytku každý vstup — pro 12 a 18 je to 6, ne samotné 12 nebo 18, i když obě tato čísla také dělí beze zbytku alespoň jeden ze vstupů.
- Ruční vypisování všech faktorů u velkých čísel místo použití Eukleidova algoritmu. Jak bylo uvedeno výše, to se se zvětšujícími se čísly stává pomalým a náchylným k chybám — Eukleidův algoritmus, který tato kalkulačka používá, najde stejnou odpověď v jen několika málo krocích bez ohledu na velikost.
- Násobení obou čísel k získání NSN bez předchozího dělení NSD. Jak bylo uvedeno výše, přímé násobení dává správné NSN pouze tehdy, když jsou obě čísla nesoudělná (NSD rovno 1) — u čísel sdílejících společný faktor vynechání dělení NSD produkuje násobek skutečného NSN, ne samotné NSN.
Co Je Dobré Vědět
- Zjednodušení zlomku na nejjednodušší tvar je přesně výpočet NSD — Kalkulačka Zlomků zjednodušuje zlomky pomocí stejného NSD, které tato kalkulačka počítá přímo.
- Nalezení společného jmenovatele pro sčítání nebo odečítání zlomků je přesně výpočet NSN — stejný vztah v opačném směru.
- Kalkulačka Prvočíselného Rozkladu a Kalkulačka Poměru obě vycházejí ze stejné myšlenky společného faktoru z jiného úhlu — jedna rozkládá číslo na jeho prvočíselné stavební bloky, druhá zjednodušuje poměr na jeho nejjednodušší celočíselný tvar.