Pravděpodobnost

Nalezení Šance Události, Samostatně nebo Kombinovaně

Pravděpodobnost měří, jak pravděpodobná je událost, jako číslo mezi 0 (nemožné) a 1 (jisté). Zadejte počet příznivých a celkových výsledků pro nalezení pravděpodobnosti jediné události a jejího doplňku, nebo zadejte pravděpodobnosti dvou nezávislých událostí pro nalezení šance, že obě nastanou, kterákoli nastane, nebo ani jedna nenastane.

Formule

Jediná událost:

$$\vC{\text{Pravděpodobnost}} = \frac{\text{Příznivé Výsledky}}{\text{Celkové Výsledky}}$$

Doplněk (šance, že událost NEnastane) je vždy $1 - \vC{\text{Pravděpodobnost}}$.

Dvě nezávislé události (kde výskyt jedné události nemění šanci druhé):

• $P(\text{obě nastanou}) = P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$
• $P(\text{kterákoli nastane}) = P(\vA{A}) + P(\vB{B}) - P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$ — prosté sečtení obou by dvojitě započítalo překrytí, kde nastanou obě, takže je jednou odečteno zpět (princip inkluze-exkluze).
• $P(\text{ani jedna nenastane}) = (1 - P(\vA{A})) \times (1 - P(\vB{B}))$

Řešený Příklad

Jediná událost: hození sudého čísla na standardní 6stranné kostce.

1. Příznivé výsledky: 3 (2, 4, 6) z 6 celkových: $3 \div 6 = \vC{50\%}$.
2. Doplněk: $1 - \vC{50\%} = 50\%$ (hození lichého čísla).

Dvě nezávislé události: hod mincí a padnutí panny (P = 50 %) A hod kostkou a padnutí 6 (P ≈ 16,67 %):

1. P(obě) = 0,5 × 0,1667 ≈ 8,33 %
2. P(kterákoli) = 0,5 + 0,1667 − 0,0833 ≈ 58,33 %
3. P(ani jedna) = 0,5 × 0,8333 ≈ 41,67 %

Klíčové Faktory ke Zvážení

• Vzorce pro nezávislé události zde platí pouze tehdy, když výsledek jedné události skutečně neovlivňuje druhou. Hod mincí a hod kostkou jsou klasické nezávislé události — ale tažení dvou karet z balíčku BEZ vrácení NENÍ nezávislé, protože odebrání první karty mění šance pro druhou. Aplikace těchto vzorců na závislé události dává nesprávný výsledek.
• Pravděpodobnost 0 znamená nemožné a 1 znamená jisté — každá skutečná pravděpodobnost spadá někam mezi tyto dva extrémy. Tato škála 0 až 1 (nebo ekvivalentně 0 % až 100 %) je univerzální konvence napříč pravděpodobností a statistikou, což je důvod, proč výsledky této kalkulačky vždy spadají do tohoto rozsahu.
• „Gamblerův blud” je běžný mylný předpoklad, kterému matematika této kalkulačky přímo odporuje. Víra, že spravedlivá mince je po několika po sobě jdoucích pannách „na řadě” na orla, chybně chápe nezávislost — každý hod má přesně stejnou 50% pravděpodobnost bez ohledu na to, co se stalo předtím, protože předchozí hody nemají žádný skutečný vliv na další výsledek spravedlivé mince.
• Klasická pravděpodobnost (příznivé výsledky vydělené celkovými výsledky) předpokládá, že každý výsledek je stejně pravděpodobný. Tento předpoklad platí pro spravedlivou kostku nebo spravedlivou minci, ale ne pro každý scénář reálného světa — vážená kostka nebo zkreslená mince by potřebovaly skutečné pozorované frekvence místo této jednoduché metody počítání k odhadu svých skutečných pravděpodobností.

Časté Chyby

• Použití vzorců pro nezávislé události na události, které ve skutečnosti nezávislé nejsou. Tažení dvou karet z balíčku bez vrácení první je klasickým příkladem — odebrání první karty mění šance pro druhou, takže zacházení s nimi jako s nezávislými nadhodnocuje nebo podhodnocuje skutečnou kombinovanou pravděpodobnost.
• Prosté sečtení P(A) a P(B) pro nalezení šance, že nastane kterákoli z nich. To dvojitě započítá případ, kdy nastanou obě — překrytí musí být jednou odečteno zpět, což přesně dělá vzorec inkluze-exkluze výše.
• Víra, že spravedlivá mince nebo kostka je po sérii výsledků „na řadě” na konkrétní výsledek. Každý nezávislý hod nebo vrh má pokaždé přesně stejnou pravděpodobnost, bez ohledu na to, co se stalo při předchozích hodech — tomuto mylnému přesvědčení („gamblerův blud”) přímo odporuje předpoklad nezávislosti, na kterém tyto vzorce stojí.

Užitečné Informace

• Pracujete s celým souborem čísel místo jedné pravděpodobnosti? Kalkulačka Statistiky počítá průměr, medián, modus a směrodatnou odchylku.
• Potřebujete spočítat uspořádání nebo výběry místo pravděpodobnosti? Kalkulačka Permutací a Kombinací počítá permutace a kombinace.
• Chcete si vyzkoušet skutečné hody kostkou místo pouhého výpočtu šancí? Kalkulačka Hodu Kostkou hodí libovolným počtem kostek s libovolným počtem stran.