Z-Skóre

Standardizace Hodnoty Vůči Průměru Rozdělení

Z-skóre měří, kolik směrodatných odchylek hodnota leží nad nebo pod průměrem rozdělení. Zadejte hodnotu, průměr rozdělení, a jeho směrodatnou odchylku pro nalezení z-skóre a odpovídajícího percentilu — jaký podíl normálního rozdělení spadá na nebo pod tuto hodnotu.

Z-skóre 0 znamená, že se hodnota přesně rovná průměru. Kladná z-skóre jsou nad průměrem; záporná z-skóre jsou pod ním. Protože zhruba 68 % normálního rozdělení spadá do 1 směrodatné odchylky od průměru, 95 % do 2, a 99,7 % do 3, samotné z-skóre dává okamžitý pocit, jak neobvyklá je hodnota.

Vzorec

$$\text{Z-Skóre} = \frac{\vA{\text{Hodnota}} - \vB{\text{Průměr}}}{\vC{\text{Směrodatná Odchylka}}}$$

Percentil pochází z kumulativní distribuční funkce standardního normálního rozdělení — pravděpodobnost, že náhodně vybraná hodnota z tohoto rozdělení spadá na nebo pod zadané z-skóre, zde vypočítaná pomocí dobře zavedené polynomiální aproximace chybové funkce.

Řešený Příklad

Skóre IQ 115, kde skóre IQ mají průměr 100 a směrodatnou odchylku 15:

1. Z-skóre: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, poté $15 \div \vC{15} = 1,0$.
2. Percentil: z-skóre přesně 1 odpovídá 84,13. percentilu — tato hodnota je vyšší než asi 84 % rozdělení.

Klíčové Faktory ke Zvážení

• Tento výpočet předpokládá, že podkladové rozdělení je skutečně normální (zvonovité), což neplatí pro každou reálnou datovou sadu. Mnoho reálných měření (jako výška nebo skóre IQ) se dostatečně blíží normálnímu rozdělení, aby to fungovalo dobře, ale rozdělení, které je silně zešikmené nebo má více vrcholů, nebude mít svůj percentil přesně popsán standardní normální křivkou, na kterou se tato kalkulačka spoléhá.
• Z-skóre standardizuje hodnoty z různých rozdělení na stejnou porovnatelnou škálu. To je přesně to, co dělá z-skóre užitečná pro porovnávání relativního postavení hodnoty napříč dvěma odlišnými měřeními s odlišnými průměry a směrodatnými odchylkami — jako porovnávání skóre testu z jedné zkoušky proti jiné zkoušce s odlišnou bodovací škálou.
• Tato kalkulačka počítá JEDNOSTRANNÝ percentil (podíl rozdělení na nebo pod hodnotou), což se liší od oboustranné (obou konců) pravděpodobnosti. V závislosti na kladené otázce — „jaký podíl skóroval níž než já“ oproti „jak neobvyklá je tato hodnota v jakémkoli směru“ — se relevantní číslo k použití může lišit, a stojí za to mít jasno v tom, které konkrétní použití skutečně potřebuje.
• Kalkulačka Z-Skóre a Kalkulačka Statistiky odpovídají na příbuzné, ale skutečně odlišné otázky. Kalkulačka Statistiky počítá VLASTNÍ průměr a směrodatnou odchylku datové sady ze surových čísel, zatímco tato kalkulačka hodnotí JEDNU hodnotu proti JIŽ ZNÁMÉMU průměru a směrodatné odchylce rozdělení — obě se často používají společně, nejprve výpočtem parametrů rozdělení, poté hodnocením jednotlivých hodnot proti němu.

Časté Chyby

• Používání statistiky výběru, jako by šlo o skutečný průměr/směrodatnou odchylku celé populace. Průměr a směrodatná odchylka odhadnuté z malého výběru nesou vlastní nejistotu — zacházet s nimi jako s přesnými populačními parametry může způsobit, že percentil vypadá přesněji, než ve skutečnosti je.
• Předpoklad, že podkladová data jsou normálně rozdělena, bez ověření. Přepočet na percentil platí pouze pro skutečně zvonovitá data — u zešikmeného nebo vícevrcholového rozdělení zůstává vypočtené z-skóre platné, ale výsledný percentil může být vážně zavádějící.
• Zaměňování jednostranného percentilu s oboustrannou (oba konce) pravděpodobností. „Jaký podíl skóroval níž než já“ a „jak neobvyklá je tato hodnota v jakémkoli směru“ jsou různé otázky s různými odpověďmi — použití nesprávné pro danou situaci vede k chybné interpretaci výsledku.

Užitečné Informace

• Potřebujete nejprve zjistit průměr a směrodatnou odchylku, abyste je sem mohli zadat? Kalkulačka Statistiky je počítá přímo ze surového seznamu čísel.
• Chcete vyjádřit, jak spolehlivý je odhad, místo hodnocení jedné hodnoty? Kalkulačka Intervalu Spolehlivosti vytváří rozsah kolem statistiky výběru místo jednoho standardizovaného skóre.