Kolmiolaskuri

Kolmion Ratkaiseminen Kolmesta Tunnetusta Arvosta

Kolmio määrittyy täysin mistä tahansa 3:sta sen 6 määrittelevästä arvosta — sen 3 sivunpituudesta ja 3 sisäkulmasta — kunhan vähintään yksi niistä on sivu. Syötä mitkä tahansa 3, jotka jo tiedät (missä tahansa sivuille sopivassa yksikössä — laskuri muuntaa sisäisesti), ja se ratkaisee loput: jokaisen sivun, jokaisen kulman, piirin, pinta-alan ja kaksi luokitusta — sivunpituuksien mukaan (tasasivuinen, tasakylkinen tai erisivuinen) ja kulmien mukaan (terävä, suora tai tylppä). Käytä “Ratkaistava”-pudotusvalikkoa valitaksesi, mikä yksittäinen arvo näytetään otsikkovastauksena; jokainen arvo lasketaan silti ja luetellaan “Luvut”-kohdassa riippumatta siitä, mikä on otsikoitu.

Nämä ovat klassiset geometrian tapaukset: kolme sivua (SSS), kaksi sivua ja niiden välinen kulma (SAS), kaksi kulmaa ja mikä tahansa yksi sivu (ASA/AAS), tai kaksi sivua ja kulma, joka ei ole niiden välissä (SSA). Tuo viimeinen tapaus on aidosti monimerkityksinen yleisesti — samat kaksi sivunpituutta ja niiden ulkopuolinen kulma voidaan joskus täydentää kahdeksi eri kelvolliseksi kolmioksi — joten tämä laskuri merkitsee sen ja pyytää sen sijaan välissä olevaa kulmaa tai kolmatta sivua, sen sijaan että se arvaisi hiljaa.

Eivätkä kaikki kolme sivunpituutta voi myöskään todellisuudessa muodostaa kolmiota. “Kolmioepäyhtälö” vaatii, että jokainen sivu on lyhyempi kuin kahden muun summa — kolme juomapilliä, joiden pituudet ovat 1, 2 ja 10, ei yksinkertaisesti voida järjestää kohtaamaan kolmessa kulmassa, miten tahansa niitä kallistat. Tämä laskuri tarkistaa tämän ensin ja selittää selkeästi, jos syöttämäsi pituudet eivät toimi.

Kaava

Pinta-ala tulee Heronin kaavasta, käyttäen puolipiiriä $\vD{s}$ (puolet piiristä):

$$\text{Pinta-ala} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

Jokainen kulma tulee kosinilauseesta, ratkaistuna annettua sivua vastapäätä olevalle kulmalle — esimerkiksi sivua a vastapäätä oleva kulma:

$$\text{Kulma A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

Sama kaava, sivut kierrettyinä, antaa kulmat B ja C. Kaikki kolme kulmaa summautuvat aina tarkalleen 180°:een.

Laskuesimerkki

Kolmio sivuilla 7, 8 ja 9:

1. Puolipiiri: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$.
2. Pinta-ala: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$.
3. 7-sivua vastapäätä oleva kulma: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48.19°$.
4. 8-sivua vastapäätä oleva kulma: $\approx 58.41°$.
5. 9-sivua vastapäätä oleva kulma: $\approx 73.40°$ — suurin kulma, mutta silti alle 90°.

Kaikki kolme sivua ovat eripituisia ja jokainen kulma on alle 90°, joten tämä kolmio on erisivuinen ja terävä.

Keskeiset Huomioitavat Tekijät

• Kaksi kolmioluokitusjärjestelmää (sivujen ja kulmien mukaan) ovat täysin toisistaan riippumattomia. Kolmio on aina täsmälleen yksi tasasivuinen/tasakylkinen/erisivuinen JA täsmälleen yksi terävä/suora/tylppä — nämä kaksi merkintää kuvaavat aidosti eri ominaisuuksia, joten kolmio saa oikein molemmat merkinnät samaan aikaan (esim. “tasakylkinen ja tylppä” on täysin pätevä yhdistelmä).
• SSA (sivu-sivu-kulma) -tapaus on tunnettu, aito monimerkityksisyys kolmiogeometriassa, ei tämän laskurin oikku. Kun annetaan kaksi sivua ja kulma, joka ei ole niiden välissä, on matemaattisesti mahdollista, että nolla, yksi tai kaksi erillistä kolmiota täyttää nuo tarkat mitat — tämä on todellinen kolmiogeometrian piirre (kutsutaan joskus “monimerkityksiseksi tapaukseksi” trigonometrian kursseilla), minkä vuoksi tämä laskuri pyytää eri syötteiden yhdistelmää sen sijaan, että arvaisi hiljaa.
• Kolmioepäyhtälö on nopea tapa tarkistaa, voivatko kolme annettua pituutta muodostaa todellisen kolmion ennen muuta laskentaa. Jokaisen sivun täytyy olla tiukasti lyhyempi kuin kahden muun summa — jos tämä tarkistus epäonnistuu, mitään kelvollista kolmiota ei ole olemassa noilla kolmella pituudella, riippumatta siitä, miten ne järjestetään.
• Minkä tahansa kolmion kolme sisäkulmaa summautuvat aina tarkalleen 180 asteeseen, kiinteä geometrinen tosiasia, jota käytetään sisäisenä johdonmukaisuustarkistuksena. Kun kaksi kulmaa tiedetään, kolmas määrittyy automaattisesti vähentämällä 180°:sta — tämä kiinteä summaominaisuus on juuri se syy, miksi pelkkien kahden kulman tunteminen (plus mikä tahansa yksi sivu) riittää ratkaisemaan kolmion täysin.

Yleiset Virheet

• Kolmen kulman syöttäminen ilman mitään sivunpituutta. Pelkät kolme kulmaa määrittävät vain kolmion muodon, ei sen kokoa — äärettömän monella kolmiolla on samat kolme kulmaa, mutta ne ovat eri kokoisia — joten vähintään yksi sivunpituus tarvitaan aina todellisen pinta-alan ja sivunpituuksien saamiseksi, ei vain muodon.
• Sen sekoittaminen, mikä kulma on “välissä” SAS-tapauksessa. Kahden annetun sivun välinen kulma on se, joka merkitsee kosinilauseessa — kulma muualta kolmiosta tuottaa sen sijaan aidosti monimerkityksisen SSA-tapauksen, jonka tämä laskuri merkitsee sen sijaan, että arvaisi.
• Oletus, että mitkä tahansa kolme positiivista lukua voivat muodostaa kolmion. Pituusjoukko, joka ei läpäise kolmioepäyhtälöä (yksi sivu yhtä pitkä tai pidempi kuin kaksi muuta yhteensä), ei kuvaa lainkaan todellista kolmiota, riippumatta siitä, miten luvut järjestetään.

Hyvä Tietää

• Työskenteletkö kolmion pinta-alan tai sivunpituuksien kanssa osana suurempaa muotoa? Pinta-alalaskuri kattaa pinta-alan useille yleisille 2D-muodoille kolmioiden lisäksi.
• Tarvitsetko etäisyyden tai kaltevuuden kahden koordinaattipisteen välillä kolmen tunnetun kolmion arvon sijaan? Etäisyys-, Keskipiste- Ja Kulmakerroinlaskuri hoitaa sen suoraan.