Toisen Asteen Yhtälön

ax² + bx + c = 0:n Ratkaiseminen Jokaiselle x:n Arvolle

Toisen asteen ratkaisukaava ratkaisee minkä tahansa muotoa ax² + bx + c = 0 olevan yhtälön x:lle, käyttäen vain yhtälön kolmea kerrointa. Syötä a, b ja c, ja tämä laskuri löytää jokaisen x:n arvon, joka tekee yhtälöstä toden — mukaan lukien tapaus, jossa vastaus sisältää kompleksilukuja reaalilukujen sijaan.

Toisen asteen yhtälöllä on aina täsmälleen kaksi ratkaisua, kun lasketaan oikein: kaksi eri reaalilukua, yksi reaaliluku laskettuna kahdesti (“toistuva juuri”), tai pari kompleksilukuja. Mikä tapaus pätee, riippuu kokonaan diskriminantin (neliöjuuren alla olevan osan) etumerkistä — tämä laskuri kertoo, kumpi sinulla on, ei vain raakoja lukuja.

Kaava

Yhtälölle $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (jossa $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Neliöjuuren alla oleva termi, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, on nimeltään diskriminantti:

Laskuesimerkki

Yhtälölle $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Diskriminantti: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, joka on positiivinen, joten on kaksi eri reaalijuurta.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ tai $x = \frac{2}{2} = 1$.

Tarkistus: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ ja $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — molemmat ratkaisut täsmäävät.

Keskeiset Huomioitavat Tekijät

• Toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat täsmälleen kohdat, joissa sen kuvaaja (paraabeli) ylittää x-akselin. Kaksi eri reaalijuurta tarkoittaa, että paraabeli ylittää x-akselin kahdessa pisteessä; toistuva juuri tarkoittaa, että se vain koskettaa akselia yhdessä pisteessä (sen kärkipisteessä); kompleksiset juuret tarkoittavat, että paraabeli ei koskaan kosketa x-akselia lainkaan, pysyen kokonaan sen ylä- tai alapuolella.
• Pelkkä diskriminantti kertoo ratkaisujen LUONTEEN ennen minkään jatkolaskennan tekemistä. Sen tarkistaminen, onko $b^2 - 4ac$ positiivinen, nolla vai negatiivinen, on nopea tapa tietää etukäteen, onko yhtälöllä kaksi reaaliratkaisua, yksi toistuva ratkaisu vai kompleksikonjugaattipari, ilman että tarvitsee ensin täydentää loppua kaavasta.
• Toisen asteen yhtälön a-kerroin ei voi koskaan olla nolla, tai se lakkaa olemasta toisen asteen yhtälö. Jos a = 0, $x^2$-termi katoaa kokonaan ja yhtälöstä tulee lineaarinen (korkeintaan yksi ratkaisu, löydettynä yksinkertaisella algebralla) toisen asteen yhtälön sijaan — tästä syystä toisen asteen ratkaisukaava itsessään on pätevä, ja tarpeellinen, vain kun a on nollasta poikkeava.
• Kompleksiset juuret esiintyvät aina konjugaattipareina toisen asteen yhtälölle, jolla on reaaliset kertoimet. Kun diskriminantti on negatiivinen, kaksi ratkaisua ottavat aina muodon $p + qi$ ja $p - qi$ (identtiset reaaliosat, vastakkaismerkkiset imaginaariosat) — tämä pareittainen esiintyminen on suora seuraus kaavan ±-merkistä sovellettuna negatiiviseen lukuun neliöjuuren alla.

Yleiset Virheet

• ±:n unohtaminen ja vain yhden juuren ilmoittaminen. Toisen asteen ratkaisukaavan ±-merkki tarkoittaa, että on tehtävä kaksi erillistä laskua (yksi +:lla, yksi -:lla) — ensimmäisen jälkeen lopettaminen jättää puolet vastauksesta pois aina kun diskriminantti ei ole tarkalleen nolla.
• Negatiivisen diskriminantin käsitteleminen “ei ratkaisuna” kompleksisen ratkaisun sijaan. Negatiivinen diskriminantti tarkoittaa, ettei yhtälöllä ole REAALISTA ratkaisua, mutta sillä on silti kaksi kelvollista kompleksista ratkaisua — yhtälö ei ole ratkaisematon, vaan sitä ei vain voi ratkaista reaalilukujen joukossa.
• a = 0:n syöttäminen ja toisen asteen vastauksen odottaminen. Ilman nollasta poikkeavaa a:ta yhtälö on lineaarinen, ei toisen asteen, ja kaavan jako 2a:lla on määrittelemätön — lineaarinen yhtälö tarvitsee sen sijaan yksinkertaista algebraa.

Hyödyllistä Tietoa

• Tarvitsetko vain neliöjuuren tai n:nnen juuren kokonaisen yhtälön ratkaisemisen sijaan? Neliöjuuri-/N:s Juuri -Laskuri laskee neliöjuuret ja n:nnet juuret suoraan.
• Työskenteletkö potensseilla yksinään? Eksponenttilaskuri laskee potensseja ja juuria.
• Tarvitsetko laajemman laskurin trigonometriaa, logaritmeja tai muita funktioita varten tämän yhtälön lisäksi? Tieteellinen Laskin hoitaa laajan valikoiman tieteellisiä laskuja.