प्रायिकता

किसी घटना की संभावना पता लगाना, अकेले या संयुक्त रूप से

संभावना मापती है कि कोई घटना कितनी संभावित है, 0 (असंभव) और 1 (निश्चित) के बीच एक संख्या के रूप में। एकल घटना की संभावना और उसका पूरक खोजने के लिए अनुकूल और कुल परिणामों की गिनती दर्ज करें, या दो स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएँ दर्ज करें ताकि यह पता चल सके कि दोनों होते हैं, कोई एक होता है, या कोई नहीं होता।

सूत्र

एकल घटना:

$$\vC{\text{संभावना}} = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}$$

पूरक (घटना के न होने की संभावना) हमेशा $1 - \vC{\text{संभावना}}$ है।

दो स्वतंत्र घटनाएँ (जहाँ एक घटना का होना दूसरे की संभावना को नहीं बदलता):

• $P(\text{दोनों होते हैं}) = P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$
• $P(\text{कोई एक होता है}) = P(\vA{A}) + P(\vB{B}) - P(\vA{A}) \times P(\vB{B})$ — दोनों को सीधे जोड़ने से वह ओवरलैप दो बार गिना जाएगा जहाँ दोनों होते हैं, इसलिए इसे एक बार वापस घटाया जाता है (समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत)।
• $P(\text{कोई भी नहीं होता}) = (1 - P(\vA{A})) \times (1 - P(\vB{B}))$

हल किया गया उदाहरण

एकल घटना: एक मानक 6-फलक वाले पासे पर एक सम संख्या फेंकना।

1. अनुकूल परिणाम: कुल 6 में से 3 (2, 4, 6): $3 \div 6 = \vC{50\%}$।
2. पूरक: $1 - \vC{50\%} = 50\%$ (एक विषम संख्या फेंकना)।

दो स्वतंत्र घटनाएँ: एक सिक्का उछालकर हेड आना (P = 50%) और एक पासा फेंककर 6 आना (P ≈ 16.67%):

1. P(दोनों) = 0.5 × 0.1667 ≈ 8.33%
2. P(कोई एक) = 0.5 + 0.1667 − 0.0833 ≈ 58.33%
3. P(कोई नहीं) = 0.5 × 0.8333 ≈ 41.67%

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• यहां दिए गए स्वतंत्र-घटना सूत्र केवल तभी लागू होते हैं जब एक घटना का परिणाम वास्तव में दूसरे को प्रभावित नहीं करता। एक सिक्का उछालना और एक पासा फेंकना क्लासिक स्वतंत्र घटनाएं हैं — लेकिन एक डेक से बिना बदले दो कार्ड निकालना स्वतंत्र नहीं है, क्योंकि पहला कार्ड हटाने से दूसरे के लिए संभावनाएं बदल जाती हैं। इन सूत्रों को आश्रित घटनाओं पर लागू करने से एक गलत परिणाम मिलता है।
• 0 की संभावना का मतलब है असंभव और 1 का मतलब है निश्चित — हर वास्तविक संभावना इन दो चरम सीमाओं के बीच कहीं आती है। यह 0-से-1 पैमाना (या समकक्ष रूप से 0% से 100%) संभावना और सांख्यिकी में सार्वभौमिक परंपरा है, यही कारण है कि इस कैलकुलेटर के परिणाम हमेशा उस सीमा के भीतर आते हैं।
• “जुआरी की भ्रांति” एक सामान्य गलत धारणा है जिसका यह कैलकुलेटर का गणित सीधे खंडन करता है। यह मानना कि एक निष्पक्ष सिक्का लगातार कई बार हेड आने के बाद टेल्स के “देय” है, स्वतंत्रता को गलत समझना है — हर उछाल में पहले क्या हुआ इसकी परवाह किए बिना बिल्कुल समान 50% संभावना होती है, क्योंकि पिछले उछालों का एक निष्पक्ष सिक्के के अगले परिणाम पर कोई वास्तविक प्रभाव नहीं होता।
• शास्त्रीय संभावना (कुल परिणामों से विभाजित अनुकूल परिणाम) मानती है कि हर परिणाम समान रूप से संभावित है। यह धारणा एक निष्पक्ष पासे या एक निष्पक्ष सिक्के के लिए सही है, लेकिन हर वास्तविक-दुनिया के परिदृश्य के लिए नहीं — एक भारित पासे या एक पक्षपाती सिक्के को अपनी वास्तविक संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए इस सरल गिनती विधि के बजाय वास्तविक देखी गई आवृत्तियों की आवश्यकता होगी।

सामान्य गलतियाँ

• स्वतंत्र-घटना सूत्रों का उपयोग उन घटनाओं पर करना जो वास्तव में स्वतंत्र नहीं हैं। एक डेक से पहला कार्ड बदले बिना दो कार्ड निकालना एक क्लासिक उदाहरण है — पहला कार्ड हटाने से दूसरे के लिए संभावनाएं बदल जाती हैं, इसलिए उन्हें स्वतंत्र मानना वास्तविक संयुक्त संभावना को कम या ज़्यादा आंकता है।
• कोई एक होने की संभावना पता लगाने के लिए बस P(A) और P(B) को जोड़ देना। इससे उस मामले की दोगुनी गिनती हो जाती है जहां दोनों होते हैं — ओवरलैप को एक बार वापस घटाना होता है, जो ठीक वही है जो ऊपर दिया गया समावेशन-बहिष्करण सूत्र करता है।
• यह मानना कि एक श्रृंखला के बाद एक निष्पक्ष सिक्का या पासा किसी विशेष परिणाम के “देय” है। हर स्वतंत्र उछाल या फेंक में हर बार बिल्कुल समान संभावना होती है, चाहे पिछली फेंकों में जो भी हुआ हो — इस गलत धारणा (“जुआरी की भ्रांति”) का सीधे खंडन उस स्वतंत्रता की धारणा से होता है जिस पर ये सूत्र निर्भर करते हैं।

जानने योग्य उपयोगी बातें

• एकल संभावना के बजाय संख्याओं के पूरे डेटासेट के साथ काम कर रहे हैं? सांख्यिकी कैलकुलेटर माध्य, माध्यिका, बहुलक, और मानक विचलन की गणना करता है।
• संभावना के बजाय व्यवस्थाओं या चयनों की गिनती करने की आवश्यकता है? क्रमचय और संचय कैलकुलेटर क्रमचय और संचय की गणना करता है।
• केवल संभावनाओं की गणना करने के बजाय वास्तविक पासे फेंकना चाहते हैं? डाइस रोलर किसी भी संख्या में फलकों वाले किसी भी संख्या के पासे फेंकता है।