Fórmula Quadrática

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Como Resolver ax² + bx + c = 0 para Todo Valor de x

A fórmula quadrática (conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara) resolve qualquer equação da forma ax² + bx + c = 0 para x, usando apenas os três coeficientes da equação. Insira a, b e c, e esta calculadora encontra todo valor de x que torna a equação verdadeira — incluindo o caso em que a resposta envolve números complexos em vez de números reais.

Uma equação quadrática sempre tem exatamente duas soluções quando contadas corretamente: dois números reais distintos, um número real contado duas vezes (uma “raiz repetida”), ou um par de números complexos. Qual caso se aplica depende inteiramente do sinal do discriminante (a parte sob a raiz quadrada) — esta calculadora informa qual caso você tem, não apenas os números brutos.

A Fórmula

Para $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (com $\vA{a} \neq 0$ ):

x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}

O termo sob a raiz quadrada, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$ , é chamado de discriminante:

Discriminante	O que significa
Positivo	Duas raízes reais distintas
Exatamente zero	Uma raiz real repetida
Negativo	Duas raízes complexas conjugadas (sem solução real)

Exemplo Prático

Para $x^2 - 3x + 2 = 0$ ( $\vA{a}=1$ , $\vB{b}=-3$ , $\vC{c}=2$ ):

Discriminante: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$ , que é positivo, então há duas raízes reais distintas.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$ .
$x = \frac{4}{2} = 2$ ou $x = \frac{2}{2} = 1$ .

Verificando: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ e $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — ambas as soluções conferem.

Principais Fatores a Considerar

As soluções de uma equação quadrática são exatamente onde seu gráfico (uma parábola) cruza o eixo x. Duas raízes reais distintas significam que a parábola cruza o eixo x em dois pontos; uma raiz repetida significa que ela apenas toca o eixo em um ponto (seu vértice); raízes complexas significam que a parábola nunca toca o eixo x, permanecendo inteiramente acima ou abaixo dele.
O discriminante sozinho informa a NATUREZA das soluções antes de fazer qualquer cálculo adicional. Verificar se $b^2 - 4ac$ é positivo, zero, ou negativo é uma forma rápida de saber de antemão se uma equação tem duas soluções reais, uma solução repetida, ou um par complexo-conjugado, sem precisar completar o resto da fórmula primeiro.
O coeficiente a de uma equação quadrática nunca pode ser zero, ou ela deixa de ser quadrática. Se a = 0, o termo $x^2$ desaparece completamente e a equação se torna linear (no máximo uma solução, encontrada por álgebra simples) em vez de quadrática — é por isso que a própria fórmula quadrática só é válida, e só é necessária, quando a é diferente de zero.
Raízes complexas sempre vêm em pares conjugados para uma quadrática com coeficientes reais. Quando o discriminante é negativo, as duas soluções sempre têm a forma $p + qi$ e $p - qi$ (partes reais idênticas, partes imaginárias com sinais opostos) — esse pareamento é uma consequência direta do ± na fórmula aplicado a um número negativo sob a raiz quadrada.

Erros Comuns

Esquecer o ± e informar apenas uma raiz. O sinal ± da fórmula quadrática significa que há dois cálculos separados a fazer (um com +, outro com -) — parar depois do primeiro deixa de fora metade da resposta sempre que o discriminante não é exatamente zero.
Tratar um discriminante negativo como “sem solução” em vez de uma solução complexa. Um discriminante negativo significa que a equação não tem solução REAL, mas ainda tem duas soluções complexas válidas — a equação não é insolúvel, apenas não é solúvel dentro dos números reais.
Inserir a = 0 e esperar uma resposta quadrática. Sem um a diferente de zero, a equação é linear, não quadrática, e a divisão por 2a da fórmula fica indefinida — uma equação linear precisa de álgebra simples em vez disso.

Bom Saber

Precisa apenas de uma raiz quadrada ou raiz enésima em vez de resolver uma equação inteira? Calculadora de Raiz Quadrada / Raiz Enésima calcula raízes quadradas e raízes enésimas diretamente.
Está trabalhando com expoentes sozinhos? Calculadora de Potenciação calcula potências e raízes.
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Fonte: Wikipédia: Fórmula de Bhaskara.

Perguntas Frequentes

O que é a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)?

Para uma equação na forma ax² + bx + c = 0, a fórmula quadrática dá x = (-b ± √(b² - 4ac)) ÷ (2a). Ela resolve todo valor de x que torna a equação verdadeira, usando apenas os três coeficientes da equação.

O que o discriminante me diz?

O discriminante é a parte sob a raiz quadrada, b² - 4ac. Um discriminante positivo significa duas raízes reais distintas, zero significa exatamente uma raiz real repetida, e um discriminante negativo significa que as duas raízes são complexas (envolvendo a unidade imaginária i) em vez de números reais.

E se "a" for zero?

Se a = 0, a equação não é mais quadrática — ela é linear (bx + c = 0), que a fórmula quadrática não consegue resolver, pois isso exigiria dividir por zero. Esta calculadora identifica esse caso e informa que você deve usar uma equação linear em vez disso.