Статистика

Как Найти Среднее, Медиану, Моду и Разброс Данных

Этот калькулятор находит среднее, медиану, моду, размах, дисперсию и стандартное отклонение для любого списка чисел. Вставьте или введите свои числа в поле ниже — разделяя запятыми, пробелами или новыми строками, в любой комбинации — и все распространённые описательные статистики будут рассчитаны сразу.

Среднее — это среднее арифметическое. Медиана — это среднее значение, когда числа отсортированы (или среднее двух средних значений для списка чётной длины). Мода — это значение (или значения), которое встречается чаще всего — если каждое число встречается ровно один раз, моды нет.

Стандартное отклонение измеряет, насколько разбросаны числа относительно среднего — малое стандартное отклонение означает, что числа сгруппированы близко друг к другу; большое означает, что они широко разбросаны. Этот калькулятор сообщает его двумя способами: стандартное отклонение генеральной совокупности (когда ваши числа — это вся группа, которая вас интересует) и стандартное отклонение выборки (когда ваши числа — это выборка, используемая для оценки более крупной совокупности) — выборочная версия немного больше, что компенсирует тенденцию выборки занижать истинный разброс всей совокупности.

Формула

$$\vC{\text{Среднее}} = \frac{\sum \vA{\text{Числа}}}{\vB{\text{Количество}}}$$ $$\vD{\text{Дисперсия Генеральной Совокупности}} = \frac{\sum (\vA{\text{Число}} - \vC{\text{Среднее}})^2}{\vB{\text{Количество}}}$$ $$\vD{\text{Дисперсия Выборки}} = \frac{\sum (\vA{\text{Число}} - \vC{\text{Среднее}})^2}{\vB{\text{Количество}} - 1}$$ $$\text{Стандартное Отклонение} = \sqrt{\vD{\text{Дисперсия}}}$$

Генеральной совокупности или выборки, в соответствии с тем, какая дисперсия используется.

Единственное отличие между версиями для генеральной совокупности и выборки — это деление на само количество против количества минус один (известное как поправка Бесселя) — всё остальное идентично.

Пример Расчёта

Числа 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:

1. Количество: $\vB{8}$. Сумма: $\vA{40}$. Среднее: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$.
2. Отсортировано: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — медиана — это среднее двух средних значений (4 и 5): $(4 + 5) \div 2 = 4,5$.
3. Мода: 4 (встречается три раза, чаще любого другого значения).
4. Размах: $9 - 2 = 7$.
5. Стандартное отклонение генеральной совокупности: 2,0. Стандартное отклонение выборки: ≈2,14.

Ключевые Факторы, Которые Следует Учитывать

• Среднее и медиана могут рассказывать очень разные истории, когда в наборе данных есть выбросы или он смещён. Одно очень большое или очень маленькое значение тянет среднее к себе, тогда как медиана остаётся привязанной к середине отсортированных данных независимо от экстремальных значений — именно поэтому, например, обычно сообщается медианный доход домохозяйства вместо (или наряду со) средним доходом, поскольку несколько очень высоких доходов иначе сместили бы среднее вверх.
• Выбор между стандартным отклонением генеральной совокупности и выборки полностью зависит от того, что на самом деле представляют ваши числа, а не от предпочтения. Если введённые числа — это ВСЯ группа, которая вас интересует (каждый ученик в одном конкретном классе), используйте генеральную совокупность. Если это ВЫБОРКА, предназначенная для оценки более крупной группы (опрос части клиентов, призванный представлять всех клиентов), используйте выборку — выбор неверного варианта систематически занижает или завышает истинную изменчивость.
• Набор данных может не иметь моды, иметь одну моду или несколько мод, в отличие от среднего и медианы, которые всегда являются единственными значениями. Если каждое значение в списке встречается ровно один раз, моды просто нет — а если два или более значений делят первое место по частоте, набор данных действительно может быть «бимодальным» или «мультимодальным», что само по себе часто является значимым сигналом об исходных данных.
• Стандартное отклонение наиболее интуитивно интерпретируется для примерно колоколообразных (нормальных) распределений, где примерно 68% значений попадают в пределах одного стандартного отклонения от среднего. Для данных с сильным смещением или очень другой формой стандартное отклонение остаётся действительной мерой разброса, но интуитивные проценты «правила 68-95-99,7» применяются не так чисто.

Распространённые Ошибки

• Всегда использовать стандартное отклонение генеральной совокупности (или всегда выборки) по привычке. То, какое из них верно, полностью зависит от того, являются ли введённые числа всей группой или лишь её выборкой — выбор неверного варианта систематически занижает или завышает истинный разброс, независимо от того, насколько тщательно выполнен остальной расчёт.
• Рассматривать среднее как «типичное значение», когда данные смещены. Небольшое число необычно больших или малых значений уводит среднее от того места, где на самом деле находится большинство данных — медиана часто является более честным «типичным значением» для смещённых данных, таких как доходы или цены на жильё.
• Забывать, что моды может не быть, быть одна, или быть несколько. Предположение, что у каждого набора данных есть ровно одна мода, приводит к путанице, когда в списке нет повторяющихся значений (моды нет) или несколько значений делят первое место по частоте (мультимодальность) — оба варианта являются нормальными, ожидаемыми результатами, а не ошибками.

Полезно Знать

• Нужно стандартизировать одно значение относительно известных среднего и стандартного отклонения, а не вычислять их из списка? Калькулятор Z-Оценки преобразует одно значение в z-оценку и процентиль.
• Работаете всего с двумя числами и хотите узнать их процентную разницу, а не полный описательный статистический анализ? Калькулятор Процентной Погрешности и Калькулятор Процентов охватывают этот более простой случай.
• Интересно, насколько вероятен конкретный исход, а не просто описание уже имеющегося набора данных? Калькулятор Вероятности вычисляет вероятности единичных и комбинированных событий.