Interval Spolehlivosti

Jak Se Počítá Interval Spolehlivosti

Interval spolehlivosti je rozsah hodnot, postavený kolem vlastního průměru vzorku, který pravděpodobně obsahuje skutečný průměr populace. Zadejte průměr, směrodatnou odchylku, a velikost vzorku, vyberte hladinu spolehlivosti, a tato kalkulačka najde rozsah, ve kterém skutečný průměr populace pravděpodobně spadá.

„95% interval spolehlivosti”, například, znamená, že pokud byste opakovali stejný proces vzorkování mnohokrát, asi 95% intervalů, které by vytvořil, by obsahovalo skutečný průměr populace. Neznamená to, že existuje 95% šance, že skutečný průměr spadá do tohoto jednoho konkrétního intervalu — běžný, technicky nesprávný způsob, jak to lidé formulují. Širší interval (vyšší hladina spolehlivosti) rozhodí širší síť a je pravděpodobnější, že obsahuje skutečný průměr; užší interval je přesnější, ale méně jistý.

Formule

$$\vE{\text{Směrodatná Chyba}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{Chyba Odhadu}} = \vC{z} \times \vE{\text{Směrodatná Chyba}}$$ $$\text{Interval Spolehlivosti} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Chyba Odhadu}}$$

Kde $\vA{s}$ je směrodatná odchylka vzorku, $\vB{n}$ je velikost vzorku, $\vC{z}$ je kritická hodnota pro zvolenou hladinu spolehlivosti (vyhledaná ze standardního normálního rozdělení), a $\vD{\bar{x}}$ je průměr vzorku. Větší velikost vzorku zmenšuje směrodatnou chybu — a tedy celý interval — jelikož více dat dává přesnější odhad skutečného průměru.

Řešený Příklad

Vzorek 25 položek má průměr 100 a směrodatnou odchylku 15, při hladině spolehlivosti 95% (kritická hodnota z = 1,96):

1. Směrodatná chyba: $\vE{\text{Směrodatná Chyba}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. Chyba odhadu: $\vF{\text{Chyba Odhadu}} = \vC{1,96} \times \vE{3} = \vF{5,88}$.
3. Interval spolehlivosti: $\text{Interval Spolehlivosti} = \vD{100} \pm \vF{5,88} = [94,12, 105,88]$.

Takže skutečný průměr populace je pravděpodobně (s 95% spolehlivostí) někde mezi 94,12 a 105,88.

Klíčové Faktory ke Zvážení

• Interval spolehlivosti neříká nic o tom, jak byl vzorek sebrán. Zde uvedená matematika předpokládá, že vzorek je skutečně náhodný, reprezentativní vzorek populace — zkreslená nebo nenáhodná metoda vzorkování může produkovat interval spolehlivosti, který vypadá přesně, ale je vycentrovaný na zcela nesprávnou hodnotu, problém, který tento vzorec nemůže odhalit ani opravit.
• Interval předpokládá, že podkladová data jsou alespoň přibližně normálně rozložená, nebo že je vzorek dostatečně velký pro platnost centrální limitní věty. U malého vzorku ze silně zkoseného rozdělení se aproximace z-rozdělení i t-rozdělení stávají méně spolehlivými.
• Interval spolehlivosti a chyba měření uváděná v anketě nebo průzkumu popisují stejnou podkladovou myšlenku. Zpráva citující „chybu měření plus mínus 3 procentní body“ při uvedené úrovni spolehlivosti (často 95 %) popisuje přesně ten interval, který tato kalkulačka počítá, jen jinými slovy.
• Užší není vždy lepší, pokud je to na úkor spolehlivosti. Užší interval při nižší úrovni spolehlivosti (řekněme 80 % místo 95 %) je přesnější, ale méně pravděpodobně skutečně obsahuje pravdivou hodnotu — správný kompromis mezi přesností a spolehlivostí závisí na tom, k čemu je odhad použit.

Časté Chyby

• Interpretace „95% spolehlivosti“ jako „95% pravděpodobnost, že skutečný průměr je v tomto intervalu.“ Jakmile je vzorek skutečně sebrán a interval vypočítán, skutečný průměr populace buď v něm je, nebo není — o pravděpodobnosti už nemá smysl mluvit. Oněch 95 % popisuje dlouhodobé chování METODY napříč mnoha opakovanými vzorky, ne tento jeden konkrétní výsledek.
• Použití tohoto vzorce založeného na z-rozdělení na malý vzorek bez ověření předpokladů. Z-rozdělení předpokládá buď velký vzorek (obvykle n přibližně 30 nebo více), nebo známou směrodatnou odchylku populace. Malý vzorek pouze s odhadnutou směrodatnou odchylkou by měl technicky vzato používat t-rozdělení, které dává poněkud širší — a poctivější — interval.
• Zaměňování intervalu spolehlivosti s rozsahem samotných dat. Interval popisuje nejistotu ohledně průměru populace, ne to, kde leží jednotlivé datové body — soubor dat může mít hodnoty rozptýlené mnohem šířeji než jeho interval spolehlivosti, zatímco interval pro samotný průměr zůstává úzký, zejména u velkého vzorku.

Dobré Vědět

Protože se směrodatná chyba zmenšuje s odmocninou z velikosti vzorku, a ne s velikostí vzorku samotnou, snížení chyby odhadu na polovinu obecně znamená přibližně čtyřnásobné zvětšení vzorku, nikoli jen jeho zdvojnásobení — detail, který má význam při plánování, jak velký průzkum nebo experiment skutečně potřebujete. To je také důvod, proč ankety s jen několika sty respondenty mohou stále uvádět slušně přesnou chybu odhadu: jakmile vzorek dosáhne několika stovek, odmocninový vztah znamená, že každý další respondent přináší postupně menší přesnost, takže výzkumníci jen zřídka vidí smysl v navyšování vzorků na desítky tisíc jen kvůli seříznutí zlomku procentního bodu z chyby.