Punteggio Z

Standardizzare un Valore Rispetto alla Media di una Distribuzione

Un punteggio Z misura quante deviazioni standard un valore si trova sopra o sotto la media di una distribuzione. Inserisci un valore, la media della distribuzione, e la sua deviazione standard per trovare il punteggio Z e il percentile corrispondente — quale quota di una distribuzione normale cade a o sotto quel valore.

Un punteggio Z di 0 significa che il valore è esattamente uguale alla media. I punteggi Z positivi sono sopra la media; i punteggi Z negativi sono sotto di essa. Poiché circa il 68% di una distribuzione normale cade entro 1 deviazione standard dalla media, il 95% entro 2, e il 99,7% entro 3, un punteggio Z da solo dà un senso immediato di quanto insolito sia un valore.

La Formula

$$\text{Punteggio Z} = \frac{\vA{\text{Valore}} - \vB{\text{Media}}}{\vC{\text{Deviazione Standard}}}$$

Il percentile viene dalla funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione normale standard — la probabilità che un valore estratto casualmente da quella distribuzione cada a o sotto il punteggio Z inserito, calcolato qui tramite un’approssimazione polinomiale consolidata della funzione errore.

Esempio Pratico

Un punteggio QI di 115, dove i punteggi QI hanno una media di 100 e una deviazione standard di 15:

1. Punteggio Z: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, poi $15 \div \vC{15} = 1,0$.
2. Percentile: un punteggio Z di esattamente 1 corrisponde all’84,13° percentile — questo valore è più alto di circa l’84% della distribuzione.

Fattori Chiave da Considerare

• Questo calcolo presume che la distribuzione sottostante sia genuinamente normale (a forma di campana), il che non è vero per ogni dataset reale. Molte misurazioni del mondo reale (come altezza o punteggi QI) approssimano una distribuzione normale abbastanza bene perché questo funzioni correttamente, ma una distribuzione fortemente asimmetrica o con più picchi non avrà il suo percentile accuratamente descritto dalla curva normale standard su cui si basa questo calcolatore.
• Un punteggio Z standardizza valori da distribuzioni diverse sulla stessa scala confrontabile. Questo è esattamente ciò che rende i punteggi Z utili per confrontare la posizione relativa di un valore tra due misurazioni diverse con medie e deviazioni standard diverse — come confrontare un punteggio su un esame con un altro esame con una scala di punteggio diversa.
• Questo calcolatore calcola un percentile UNILATERALE (la quota della distribuzione a o sotto un valore), che è diverso da una probabilità bilaterale (entrambe le code). A seconda della domanda posta — “quale quota ha ottenuto un punteggio inferiore al mio” contro “quanto è insolito questo valore in entrambe le direzioni” — la cifra rilevante da usare può differire, e vale la pena essere chiari su quale delle due serva effettivamente a un caso d’uso specifico.
• Il Calcolatore Punteggio Z e il Calcolatore Statistiche rispondono a domande correlate ma genuinamente diverse. Il Calcolatore Statistiche calcola la media e la deviazione standard PROPRIE di un dataset a partire da numeri grezzi, mentre questo calcolatore valuta UN valore contro la media e la deviazione standard di una distribuzione GIÀ NOTA — i due vengono spesso usati insieme, prima calcolando i parametri di una distribuzione, poi valutando singoli valori contro di essa.

Errori Comuni

• Usare una statistica campionaria come se fosse la vera media/deviazione standard della popolazione. Una media e una deviazione standard stimate da un piccolo campione portano con sé una propria incertezza — trattarle come parametri esatti della popolazione può far sembrare un percentile più preciso di quanto realmente sia.
• Presumere che i dati sottostanti siano distribuiti normalmente senza verificarlo. La conversione in percentile è valida solo per dati genuinamente a forma di campana — per una distribuzione asimmetrica o con più picchi, il punteggio Z calcolato rimane valido, ma il valore percentile che ne deriva può essere seriamente fuorviante.
• Confondere un percentile unilaterale con una probabilità bilaterale (entrambe le code). “Quale quota ha ottenuto un punteggio inferiore al mio” e “quanto è insolito questo valore in entrambe le direzioni” sono domande diverse con risposte diverse — usare quella sbagliata per la situazione porta a un’interpretazione errata del risultato.

Utile da Sapere

• Hai bisogno prima della media e della deviazione standard da inserire qui? Calcolatore Statistiche le calcola entrambe direttamente da un elenco di numeri grezzi.
• Vuoi esprimere quanto sia affidabile una stima, invece di valutare un singolo valore? Calcolatore Intervallo di Confidenza costruisce un intervallo attorno a una statistica campionaria invece di un singolo punteggio standardizzato.