Intervallo di Confidenza

Confronta Calcoli

Download

Include i tuoi valori e risultati per questo calcolo, più eventuali calcoli aggiuntivi che hai confrontato.

Da Sapere

Questo calcolatore utilizza la distribuzione z, che presuppone una grande dimensione del campione o una deviazione standard della popolazione nota. Per campioni piccoli (meno di circa 30) con una deviazione standard stimata, la distribuzione t è tecnicamente più accurata e produrrà un intervallo leggermente più ampio di quello mostrato qui.

Come Si Calcola l’Intervallo di Confidenza

Un intervallo di confidenza è un intervallo di valori, costruito attorno alla media di un campione, che probabilmente contiene la vera media della popolazione. Inserisci la media, la deviazione standard, e la dimensione di un campione, scegli un livello di confidenza, e questo calcolatore trova l’intervallo entro il quale probabilmente cade la vera media della popolazione.

Un “intervallo di confidenza al 95%,” per esempio, significa che se ripetessi lo stesso processo di campionamento molte volte, circa il 95% degli intervalli prodotti conterrebbe la vera media della popolazione. Non significa che c’è una probabilità del 95% che la vera media cada dentro questo uno specifico intervallo — un modo comune, tecnicamente scorretto in cui le persone lo dicono. Un intervallo più ampio (livello di confidenza più alto) getta una rete più ampia ed è più probabile che contenga la vera media; un intervallo più stretto è più preciso ma meno certo.

La Formula

\vE{\text{Errore Standard}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}

\vF{\text{Margine di Errore}} = \vC{z} \times \vE{\text{Errore Standard}}

\text{Intervallo di Confidenza} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Margine di Errore}}

Dove $\vA{s}$ è la deviazione standard del campione, $\vB{n}$ è la dimensione del campione, $\vC{z}$ è il valore critico per il livello di confidenza scelto (ricercato dalla distribuzione normale standard), e $\vD{\bar{x}}$ è la media del campione. Una dimensione del campione maggiore restringe l’errore standard — e quindi l’intero intervallo — poiché più dati danno una stima più precisa della vera media.

Esempio Pratico

Un campione di 25 elementi ha una media di 100 e una deviazione standard di 15, a un livello di confidenza del 95% (un valore critico di z = 1,96):

Errore standard: $\vE{\text{Errore Standard}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$ .
Margine di errore: $\vF{\text{Margine di Errore}} = \vC{1,96} \times \vE{3} = \vF{5,88}$ .
Intervallo di confidenza: $\text{Intervallo di Confidenza} = \vD{100} \pm \vF{5,88} = [94,12, 105,88]$ .

Quindi la vera media della popolazione è probabilmente (con confidenza al 95%) da qualche parte tra 94,12 e 105,88.

Fattori Chiave da Considerare

Un intervallo di confidenza non dice nulla su come è stato raccolto il campione. La matematica qui presuppone che il campione sia un campione genuinamente casuale e rappresentativo della popolazione — un metodo di campionamento distorto o non casuale può produrre un intervallo di confidenza che sembra preciso ma è centrato su un valore completamente sbagliato, un problema che questa formula non può rilevare né correggere.
L’intervallo presuppone che i dati sottostanti siano almeno approssimativamente distribuiti normalmente, o che il campione sia abbastanza grande perché si applichi il Teorema del Limite Centrale. Per un campione piccolo da una distribuzione fortemente asimmetrica, sia l’approssimazione della distribuzione z che quella della distribuzione t diventano meno affidabili.
Un intervallo di confidenza e un margine di errore riportato in un sondaggio descrivono la stessa idea sottostante. Una notizia che cita “un margine di errore di più o meno 3 punti percentuali” a un dato livello di confidenza (spesso 95%) sta descrivendo esattamente l’intervallo che questo calcolatore calcola, solo formulato diversamente.
Più stretto non è sempre meglio se ha un costo in termini di confidenza. Un intervallo più stretto a un livello di confidenza più basso (diciamo 80% invece di 95%) è più preciso ma meno probabile che contenga effettivamente il vero valore — il giusto compromesso tra precisione e confidenza dipende da come verrà usata la stima.

Errori Comuni

Interpretare “confidenza al 95%” come “probabilità del 95% che la vera media sia in questo intervallo”. Una volta che un campione è stato effettivamente raccolto e l’intervallo calcolato, la vera media della popolazione è dentro o fuori di esso — non c’è più alcuna probabilità di cui parlare. Il 95% descrive il comportamento a lungo termine del METODO attraverso molti campioni ripetuti, non questo singolo risultato specifico.
Applicare questa formula basata sulla distribuzione z a un campione piccolo senza verificare le assunzioni. La distribuzione z presuppone o un campione grande (convenzionalmente n di circa 30 o più) o una deviazione standard della popolazione nota. Un campione piccolo con solo una deviazione standard stimata dovrebbe tecnicamente usare invece la distribuzione t, che produce un intervallo un po’ più ampio — e più onesto.
Confondere l’intervallo di confidenza con l’intervallo dei dati grezzi. L’intervallo descrive l’incertezza sulla media della popolazione, non dove cadono i singoli punti dati — un set di dati può avere valori sparsi molto più ampiamente del suo intervallo di confidenza, mentre l’intervallo sulla media stessa rimane stretto, specialmente con un campione grande.

Cosa Vale la Pena Sapere

Poiché l’errore standard si riduce con la radice quadrata della dimensione del campione anziché con la dimensione del campione stessa, dimezzare un margine di errore generalmente significa quadruplicare la dimensione del campione, non semplicemente raddoppiarla — un dettaglio che conta quando si pianifica quanto debba essere grande davvero un sondaggio o un esperimento. Questo spiega anche perché i sondaggi con solo poche centinaia di rispondenti possono comunque riportare un margine di errore rispettabilmente ristretto: una volta che un campione raggiunge poche centinaia, la relazione con la radice quadrata significa che ogni rispondente aggiuntivo porta progressivamente meno precisione, quindi i sondaggisti raramente vedono un valore nel portare le dimensioni del campione a decine di migliaia solo per rosicchiare una frazione di punto dal margine.

Fonte: Standard statistical inference formula using the z-distribution.

Domande Frequenti

Cosa significa effettivamente "confidenza al 95%"?

Significa che se ripetessi lo stesso processo di campionamento molte volte, circa il 95% degli intervalli risultanti conterrebbe la vera media della popolazione. NON significa che c'è una probabilità del 95% che la vera media cada dentro questo UNO specifico intervallo — un modo comune ma tecnicamente scorretto di dirlo.

Perché una dimensione del campione maggiore restringe l'intervallo?

L'errore standard (e quindi il margine di errore) viene diviso per la radice quadrata della dimensione del campione, quindi più dati producono una stima più precisa — e più stretta — della vera media della popolazione.

Dovrei usare la distribuzione z o la distribuzione t?

La distribuzione z (usata qui) è standard per campioni grandi (n di circa 30 o più) o quando la vera deviazione standard della popolazione è già nota. Per un campione piccolo con solo una deviazione standard stimata, la distribuzione t è tecnicamente più accurata e produce un intervallo leggermente più ampio.

Cosa succede se scelgo un livello di confidenza più alto?

Un livello di confidenza più alto (es. 99% invece di 95%) usa un valore z critico più grande, il che allarga l'intervallo. Questo è un compromesso inevitabile: gettare una rete più ampia rende più probabile che la vera media sia effettivamente dentro l'intervallo, al costo di una stima meno precisa.

Di quanto deve essere più grande il mio campione per dimezzare il margine di errore?

Circa quattro volte più grande, non due. L'errore standard si riduce con la radice quadrata della dimensione del campione, quindi dimezzare il margine di errore richiede di quadruplicare il numero di osservazioni -- una regola pratica utile quando si pianifica quanto debba essere grande davvero un sondaggio o un esperimento.

Un intervallo di confidenza dice qualcosa su come è stato raccolto il campione?

No -- la matematica presuppone che il campione sia genuinamente casuale e rappresentativo della popolazione. Un metodo di campionamento distorto o non casuale può comunque produrre un intervallo di confidenza che sembra preciso ma è centrato su un valore completamente sbagliato, un problema che questa formula non ha modo di rilevare o correggere.

Un intervallo di confidenza è la stessa cosa di un margine di errore?

Descrivono la stessa idea sottostante da due angolazioni: il margine di errore è la distanza più o meno dalla media del campione, mentre l'intervallo di confidenza è l'intera gamma che quella distanza crea attorno ad essa. Una notizia che cita "un margine di errore di più o meno 3 punti percentuali" a un dato livello di confidenza descrive esattamente l'intervallo che questo calcolatore calcola.