Период Полураспада

Расчёт Экспоненциального Распада по Формуле Периода Полураспада

Период полураспада — это время, необходимое для распада ровно половины количества — будь то радиоактивный изотоп, лекарство в организме или любое другое экспоненциально затухающее количество. Введите начальное количество и период полураспада, плюс либо прошедшее время, либо оставшееся количество, и этот калькулятор найдёт другое значение.

Формула

$$\vB{N(t)} = \vA{N_0} \times 0.5^{t / T}$$ $$t = T \times \log_2\left(\frac{\vA{N_0}}{\vB{N_t}}\right)$$

где $N_0$ — начальное количество, $T$ — период полураспада, $t$ — прошедшее время, а $N_t$ — оставшееся количество в момент времени $t$.

Пример Расчёта

Вещество с начальным количеством 100 г и периодом полураспада 10 дней:

1. Через 20 дней (2 периода полураспада): $\vB{N(t)} = 100 \times 0.5^{20/10} = 100 \times 0.25 \approx \vB{25}$ г остаётся.
2. Это $\vC{25\%}$ от начального количества, после того как прошло ровно 2 периода полураспада.

Ключевые Факторы, Которые Следует Учитывать

• Вещество никогда полностью не «исчезает» при чистом экспоненциальном распаде — количество лишь стремится к нулю. Это подлинное математическое свойство экспоненциального распада: формула даёт всё меньшее, но никогда не равное строго нулю оставшееся количество — на практике количество становится пренебрежимо малым (а не математически нулевым) через несколько периодов полураспада, обычно считаясь практически исчерпанным примерно через 5-7 периодов полураспада.
• Разные вещества имеют совершенно разные периоды полураспада — от долей секунды до миллиардов лет. Радиоактивные изотопы, используемые в медицине, часто имеют период полураспада от часов до дней, тогда как некоторые, используемые в геологическом датировании (например, уран-238), имеют период полураспада, измеряемый миллиардами лет — одна и та же формула применяется на любом масштабе, меняется лишь значение периода полураспада.
• Период полувыведения лекарства из организма следует той же математике, но реальное биологическое выведение может быть сложнее. Многие лекарства достаточно хорошо аппроксимируются простым экспоненциальным выведением, но некоторые следуют более сложным многофазным моделям выведения — фактический клинический период полувыведения лекарства должен браться из фармакологических данных, специфичных для этого лекарства, а не предполагаться как идеальная простая экспонента.
• Радиоуглеродное датирование и подобные методы работают путём измерения оставшейся доли и решения относительно прошедшего времени. Это именно направление «решить относительно времени» этого калькулятора — знание исходного и текущего количества радиоактивного изотопа позволяет вычислить, сколько времени длился распад, базовый принцип методов радиометрического датирования.

Распространённые Ошибки

• Предположение, что вещество полностью исчезло после небольшого числа периодов полураспада. Экспоненциальный распад никогда по-настоящему не достигает нуля — после 2 периодов полураспада остаётся 25%, а не 0%; после 5 периодов остаётся около 3%. «Практически исчезло» — это практическое приближение, а не математическая точность.
• Мысль о том, что распад удаляет фиксированное количество за каждый период полураспада, а не фиксированную долю. Каждый период полураспада удаляет половину количества, оставшегося на тот момент, а не половину исходного количества каждый раз — 100 г становятся 50 г, затем 25 г, затем 12,5 г, никогда не уменьшаясь на фиксированные 50 г за период.
• Смешивание единиц времени между периодом полураспада и прошедшим временем. Если период полураспада введён в днях, прошедшее время (или наоборот) должно быть в той же единице — ввод одного значения в днях, а другого в годах незаметно даёт бессмысленный результат.
• Использование простой однократной экспоненциальной модели этого калькулятора для вещества с действительно многофазным распадом или моделью выведения. Как отмечено выше, реальные клинические данные о периоде полувыведения лекарства (или сложная цепочка ядерного распада) могут не следовать одной чистой экспоненциальной кривой — проверяйте данные, специфичные для конкретного вещества, прежде чем считать эту простую модель точной для реального случая.

Полезно Знать

Радиоуглеродное датирование имеет практический предел возраста, который напрямую определяется периодом полураспада самого углерода-14. Примерно через 8-10 периодов полураспада (около 50 000-60 000 лет, поскольку период полураспада углерода-14 составляет около 5 730 лет) в образце остаётся так мало углерода-14, что надёжное измерение становится непрактичным — именно поэтому радиоуглеродное датирование не используется для чего-либо старше примерно 50 000 лет. Более старые образцы датируются с помощью изотопов с гораздо более длительным периодом полураспада, таких как калий-40 или уран-238, с использованием точно той же математики экспоненциального распада.