Z-Оценка

Стандартизация Значения Относительно Среднего Распределения

Z-оценка измеряет, на сколько стандартных отклонений значение находится выше или ниже среднего значения распределения. Введите значение, среднее значение распределения и его стандартное отклонение, чтобы найти z-оценку и соответствующий процентиль — какая доля нормального распределения находится на уровне этого значения или ниже.

Z-оценка 0 означает, что значение точно равно среднему. Положительные z-оценки выше среднего; отрицательные — ниже. Поскольку примерно 68% нормального распределения находится в пределах 1 стандартного отклонения от среднего, 95% — в пределах 2, а 99,7% — в пределах 3, одна лишь z-оценка сразу даёт представление о том, насколько необычно значение.

Формула

$$\text{Z-Оценка} = \frac{\vA{\text{Значение}} - \vB{\text{Среднее}}}{\vC{\text{Стандартное Отклонение}}}$$

Процентиль получается из функции кумулятивного распределения стандартного нормального распределения — вероятности того, что случайно взятое из этого распределения значение находится на уровне введённой z-оценки или ниже, вычисляемой здесь с помощью хорошо известного полиномиального приближения функции ошибок.

Пример Расчёта

Результат IQ 115, где показатели IQ имеют среднее 100 и стандартное отклонение 15:

1. Z-оценка: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, затем $15 \div \vC{15} = 1,0$.
2. Процентиль: z-оценка ровно 1 соответствует 84,13-му процентилю — это значение выше примерно 84% распределения.

Ключевые Факторы, Которые Следует Учитывать

• Этот расчёт предполагает, что исходное распределение действительно нормальное (колоколообразное), что верно не для каждого реального набора данных. Многие реальные измерения (например, рост или показатели IQ) достаточно близко приближаются к нормальному распределению, чтобы это хорошо работало, но сильно смещённое распределение или распределение с несколькими пиками не будет точно описываться процентилем по стандартной нормальной кривой, на которую полагается этот калькулятор.
• Z-оценка приводит значения из разных распределений к одной сопоставимой шкале. Именно это делает z-оценки полезными для сравнения относительного положения значения по двум разным измерениям с разными средними и стандартными отклонениями — например, сравнение результата теста по одному экзамену с другим экзаменом с иной шкалой оценивания.
• Этот калькулятор вычисляет ОДНОСТОРОННИЙ процентиль (долю распределения на уровне значения или ниже), что отличается от двустороннего (по обоим хвостам) вероятностного показателя. В зависимости от задаваемого вопроса — «какая доля показала результат ниже моего» против «насколько необычно это значение в любом направлении» — нужная величина может отличаться, и стоит чётко понимать, какая именно нужна для конкретного случая использования.
• Калькулятор Z-Оценки и Калькулятор Статистики отвечают на связанные, но действительно разные вопросы. Калькулятор Статистики вычисляет СОБСТВЕННОЕ среднее и стандартное отклонение набора данных из необработанных чисел, тогда как этот калькулятор оценивает ОДНО значение относительно УЖЕ ИЗВЕСТНОГО среднего и стандартного отклонения распределения — эти два калькулятора часто используются вместе: сначала вычисляются параметры распределения, а затем по ним оцениваются отдельные значения.

Частые Ошибки

• Использование выборочной статистики так, будто это истинное среднее/стандартное отклонение генеральной совокупности. Среднее и стандартное отклонение, оценённые по небольшой выборке, несут собственную неопределённость — обращение с ними как с точными параметрами совокупности может сделать процентиль более точным на вид, чем он есть на самом деле.
• Предположение, что исходные данные нормально распределены, без проверки. Пересчёт в процентиль верен только для действительно колоколообразных данных — для смещённого или многопикового распределения вычисленная z-оценка остаётся верной, но получаемый из неё процентиль может серьёзно вводить в заблуждение.
• Путаница между односторонним процентилем и двусторонней (по обоим хвостам) вероятностью. «Какая доля показала результат ниже моего» и «насколько необычно это значение в любом направлении» — разные вопросы с разными ответами — использование неверного для данной ситуации приводит к неверной интерпретации результата.

Полезно Знать

• Нужны сначала среднее и стандартное отклонение, чтобы ввести их здесь? Калькулятор Статистики вычисляет оба значения напрямую из необработанного списка чисел.
• Хотите выразить, насколько надёжна оценка, а не оценить одно значение? Калькулятор Доверительного Интервала строит диапазон вокруг выборочной статистики вместо одной стандартизированной оценки.