Доверительный Интервал

Как Рассчитывается Доверительный Интервал

Доверительный интервал — это диапазон значений, построенный вокруг собственного среднего выборки, который вероятно содержит истинное среднее генеральной совокупности. Введите среднее, стандартное отклонение и размер выборки, выберите уровень уверенности, и этот калькулятор найдёт диапазон, в который, вероятно, попадает фактическое среднее генеральной совокупности.

«95%-й доверительный интервал», например, означает, что если бы вы повторили тот же процесс выборки много раз, около 95% полученных интервалов содержали бы истинное среднее генеральной совокупности. Это не означает, что существует 95% вероятность того, что истинное среднее попадает внутрь этого одного конкретного интервала — распространённая, технически неверная формулировка. Более широкий интервал (более высокий уровень уверенности) охватывает более широкий диапазон и с большей вероятностью содержит истинное среднее; более узкий интервал точнее, но менее определён.

Формула

$$\vE{\text{Стандартная Ошибка}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{Предельная Ошибка}} = \vC{z} \times \vE{\text{Стандартная Ошибка}}$$ $$\text{Доверительный Интервал} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Предельная Ошибка}}$$

Где $\vA{s}$ — стандартное отклонение выборки, $\vB{n}$ — размер выборки, $\vC{z}$ — критическое значение для выбранного уровня уверенности (взятое из стандартного нормального распределения), а $\vD{\bar{x}}$ — среднее значение выборки. Больший размер выборки уменьшает стандартную ошибку — а значит, и весь интервал, — поскольку больше данных даёт более точную оценку истинного среднего.

Пример Расчёта

Выборка из 25 элементов имеет среднее 100 и стандартное отклонение 15 при уровне уверенности 95% (критическое значение z = 1,96):

1. Стандартная ошибка: $\vE{\text{Стандартная Ошибка}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. Предельная ошибка: $\vF{\text{Предельная Ошибка}} = \vC{1.96} \times \vE{3} = \vF{5.88}$.
3. Доверительный интервал: $\text{Доверительный Интервал} = \vD{100} \pm \vF{5.88} = [94,12, 105,88]$.

Таким образом, истинное среднее генеральной совокупности вероятно (с уверенностью 95%) находится где-то между 94,12 и 105,88.

Ключевые Факторы, Которые Следует Учитывать

• Доверительный интервал ничего не говорит о том, как была собрана выборка. Математика здесь предполагает, что выборка является действительно случайной, репрезентативной выборкой из популяции — смещённый или неслучайный метод выборки может дать доверительный интервал, который выглядит точным, но полностью центрирован на неправильном значении — проблема, которую эта формула не может обнаружить или исправить.
• Интервал предполагает, что базовые данные распределены хотя бы приблизительно нормально, или что выборка достаточно велика для применения центральной предельной теоремы. Для небольшой выборки из сильно смещённого распределения приближения как z-распределения, так и t-распределения становятся менее надёжными.
• Доверительный интервал и предельная ошибка, указываемые в опросе, описывают одну и ту же базовую идею. Новостной репортаж, цитирующий «предельную ошибку плюс-минус 3 процентных пункта» при заявленном уровне уверенности (часто 95%), описывает именно тот интервал, который вычисляет этот калькулятор, просто сформулированный иначе.
• Более узкий не всегда лучше, если это достигается за счёт уверенности. Более узкий интервал при более низком уровне уверенности (скажем, 80% вместо 95%) точнее, но с меньшей вероятностью действительно содержит истинное значение — правильный компромисс между точностью и уверенностью зависит от того, для чего используется оценка.

Распространённые Ошибки

• Интерпретация «95% уверенности» как «95% вероятности, что истинное среднее находится в этом интервале». Как только выборка фактически собрана, а интервал рассчитан, истинное среднее генеральной совокупности либо находится внутри него, либо нет — говорить о вероятности больше не о чем. 95% описывает долгосрочное поведение МЕТОДА на множестве повторных выборок, а не этот один конкретный результат.
• Применение этой формулы на основе z-распределения к небольшой выборке без проверки допущений. Z-распределение предполагает либо большую выборку (традиционно n около 30 или более), либо известное стандартное отклонение генеральной совокупности. Небольшая выборка только с оценённым стандартным отклонением технически должна использовать t-распределение, которое даёт несколько более широкий — и более честный — интервал.
• Путаница доверительного интервала с диапазоном исходных данных. Интервал описывает неопределённость относительно среднего генеральной совокупности, а не то, где находятся отдельные точки данных — набор данных может иметь значения, разбросанные гораздо шире, чем его доверительный интервал, при этом интервал для самого среднего остаётся узким, особенно при большой выборке.

Полезно Знать

Поскольку стандартная ошибка уменьшается с квадратным корнем из размера выборки, а не с самим размером выборки, уменьшение предельной ошибки вдвое обычно означает увеличение размера выборки примерно в четыре раза, а не просто вдвое — деталь, важная при планировании того, насколько большим на самом деле должен быть опрос или эксперимент. Это также объясняет, почему опросы всего с несколькими сотнями респондентов всё ещё могут сообщать о достаточно узкой предельной ошибке: как только выборка достигает нескольких сотен, квадратно-корневая зависимость означает, что каждый дополнительный респондент даёт всё меньшую точность, поэтому социологи редко видят смысл в увеличении размеров выборки до десятков тысяч только ради того, чтобы срезать долю процентного пункта с погрешности.