Hacim

Temel Ölçülerden Hacim ve Yüzey Alanı Bulma

Hacim, bir katının kapladığı üç boyutlu alan miktarıdır ve her yaygın şeklin birkaç temel ölçümden bunu bulmak için kendi formülü vardır. Bir şekil seçin — dikdörtgen prizma, küp, küre, silindir veya koni — boyutlarını girin; bu hesaplayıcı hem hacmi hem de toplam yüzey alanını döndürür.

Bu beş şekil, Alan Hesaplayıcı’nın kendi düz şekillerinin katı, bir boyut yukarısı karşılıklarıdır: bir küp derinliği olan bir karedir, bir küre derinliği olan bir dairedir, bir silindir düz bir eksen boyunca uzatılmış bir dairedir ve bir koni aynı daireyi bir noktaya daraltır.

Formül

Her şeklin kendi hacim formülü vardır:

$$\text{Dikdörtgen Prizma: Hacim} = \vA{\text{Uzunluk}} \times \vB{\text{Genişlik}} \times \vC{\text{Yükseklik}}$$ $$\text{Küp: Hacim} = \vA{\text{Kenar}}^3$$ $$\text{Küre: Hacim} = \left(\frac{4}{3}\right) \times \pi \times \vA{\text{Yarıçap}}^3$$ $$\text{Silindir: Hacim} = \pi \times \vA{\text{Yarıçap}}^2 \times \vC{\text{Yükseklik}}$$ $$\text{Koni: Hacim} = \left(\frac{1}{3}\right) \times \pi \times \vA{\text{Yarıçap}}^2 \times \vC{\text{Yükseklik}}$$

Bir koninin hacmi, aynı yarıçap ve yüksekliğe sahip bir silindirin tam olarak üçte biridir — boyuttan bağımsız olarak, eşit taban ve yüksekliğe sahip koni biçimli ve silindir biçimli bir kabın her zaman sahip olduğu aynı ilişki.

Örnek Hesaplama

5 m yarıçaplı ve 10 m yükseklikli bir silindir:

1. Yarıçapın karesini alın: $\vA{5}^2 = 25$.
2. π ile çarpın: $25 \times \pi \approx 78,54$.
3. Yükseklikle çarpın: $78,54 \times \vC{10} \approx 785,40 \text{ m}^3$.

Yüzey alanı — iki dairesel uç artı kavisli yan — $2 \times \pi \times \text{yarıçap} \times (\text{yarıçap} + \text{yükseklik})$ kullanılarak yaklaşık 471,24 m² olarak hesaplanır.

Dikkate Alınması Gereken Önemli Faktörler

• Hacim, bir şeklin doğrusal boyutlarının KÜPÜYLE ölçeklenir, bu da boyut arttıkça çarpıcı bir büyüme üretir. Bir şeklin her boyutunu iki katına çıkarmak hacmini 2 değil 8 (2³) ile çarpar — tam olarak bu yüzden ılımlı ölçüde daha büyük bir kap veya oda, ilk bakışta boyut farkının önerebileceğinden çarpıcı biçimde daha fazlasını tutabilir.
• Hacim ve yüzey alanı bir şekil büyüdükçe farklı oranlarda ölçeklenir, bu gerçek pratik sonuçlara sahiptir. Hacim doğrusal boyutun küpüyle büyürken yüzey alanı yalnızca kareyle büyür — bu, daha büyük bir kabın aynı şekildeki daha küçük bir kaba göre (tuttuğu şeye oranla) orantılı olarak daha az malzemeye ihtiyaç duymasının bir nedenidir; ambalaj ve kap tasarımında kullanılan bir ilke.
• Bir koninin hacminin aynı taban ve yüksekliğe sahip bir silindirin tam olarak üçte biri olması, belirli bir boyuta özgü bir tesadüf değil, sabit bir geometrik ilişkidir. Bu oran, koni ve silindir aynı taban yarıçapını ve yüksekliği paylaştığı sürece, yarıçap ve yükseklik ne kadar büyük veya küçük olursa olsun geçerlidir.
• Gerçek dünya nesneleri genellikle tam olarak birine uymak yerine bu temel şekillerin bir kombinasyonu olarak yaklaşık olarak modellenir. Bir silo, üstünde bir koni olan bir silindir olarak modellenebilir veya düzensiz bir kap en yakın eşleşen temel şekil olarak modellenebilir — karmaşık bir gerçek nesneyi daha basit bileşen şekillere ayırmak, her birinin hacmini hesaplamak ve toplamak, hiçbir tek formülün mükemmel uymadığı durumlarda yaygın bir pratik tekniktir.

Yaygın Hatalar

• Formülün yarıçap istediği yerde çap kullanmak. Buradaki her küre, silindir ve koni formülü yarıçap (çapın yarısı) cinsinden yazılmıştır — bunun yerine tam çapı girmek, bu formüllerde yarıçap küpü veya karesi alındığı için, bir küre için hacmi 8 kat, bir silindir/koni için 4 kat fazla tahmin eder.
• Bir şeklin boyutları arasında birimleri karıştırmak. Uzunluğu fit, genişliği inç ve yüksekliği metre olarak girilen bir dikdörtgen prizma anlamsız bir sonuç verir — çarpmadan önce her boyutun aynı birimde olması gerekir; bu, tam olarak bu hesaplayıcının birim açılır menüsünün otomatik olarak tutarlı tuttuğu şeydir.
• Malzeme sipariş ederken hacmi yüzey alanıyla karıştırmak. Bir kabın hacmi ne kadar tutabileceğini söyler; yüzey alanı ise dışını ne kadar malzemenin (boya, sac, ambalaj) kapladığını söyler — gerçek bir proje için yanlışını kullanmak ya malzeme israfına ya da yetersiz malzemeye yol açar.

Bilmekte Fayda Var

• Katı bir cisim yerine düz bir şekille mi çalışıyorsunuz? Alan Hesaplayıcı, aynı bu şekillerin iki boyutlu karşılıklarını kapsar.
• Beton veya akvaryum suyu gibi belirli bir malzemeyle bir hacim mi dolduruyorsunuz? Beton Hesaplayıcı ve Akvaryum Hacmi ve Balık Stoklama Hesaplayıcı, hesaplanan bir hacmi gerçek bir malzeme veya canlı miktarına dönüştürür.