Permütasyon ve Kombinasyon

Bir Gruptan Düzenlemeleri ve Seçimleri Saymak

Bir permütasyon (nPr), sıranın önemli olduğu n içinden r öğeyi kaç şekilde düzenleyebileceğinizi sayarken, bir kombinasyon (nCr), sıranın önemli olmadığı n içinden r öğeyi kaç şekilde seçebileceğinizi sayar. Toplam öğe sayısını (n) ve kaç tanesini seçtiğinizi (r) girin; bu hesaplayıcı ilgili her iki cevabı da bir kerede bulur.

Formüller

• Permütasyonlar: $P(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{\vA{n}!}{(\vA{n} - \vB{r})!}$ — eşdeğer olarak, $\vA{n}$‘den başlayan $\vB{r}$ azalan sayının çarpımı: $\vA{n} \times (\vA{n}-1) \times \cdots \times (\vA{n}-\vB{r}+1)$.
• Kombinasyonlar: $C(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{P(\vA{n}, \vB{r})}{\vB{r}!}$ — aynı permütasyon sayısının, aynı $\vB{r}$ öğenin kendilerinin yeniden sıralanabileceği $\vB{r}!$ yola bölünmesi (bir kombinasyon için sıra önemli olmadığından).

Örnek Hesaplama

10’luk bir gruptan 3 öğe seçme, sıranın önemli olduğu durum (permütasyonlar):

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

Aynı seçim, sıranın önemli OLMADIĞI durum (kombinasyonlar):

$$C(10,3) = 720 \div 3! = 720 \div 6 = 120$$

Gerçek Dünya Kontrolü

49’dan 6 seçimli bir piyango çekilişinde 6 sayının tamamını tutturma şansı, C(49,6)‘da 1’dir — tam olarak 13.983.816 — çünkü sayıların çekildiği sıra kazanıp kazanmadığınızı değiştirmez.

Dikkate Alınması Gereken Önemli Faktörler

• Sıranın önemli olup olmadığı, hangi formülün uygulandığını belirleyen tek sorudur. Madalya kazananları podyuma yerleştirmek (1., 2., 3. sıra önemlidir) bir permütasyon problemidir, hangi 3 kişinin komiteyi oluşturacağını seçmek (sıralama yoktur) ise bir kombinasyon problemidir — bu ayrımı doğru şekilde belirlemek, bu formülleri uygularken en yaygın hata kaynağıdır.
• Kombinasyonlar, aynı n ve r için her zaman permütasyonlara eşit veya daha küçük bir sayı üretir. Bir kombinasyon, aynı r öğenin her olası sıralamasını tek bir sayıda gruplandırdığından, C(n,r) her zaman P(n,r)‘nin r!‘e bölünmesidir — iki değer yalnızca r 0 veya 1 olduğunda tam olarak eşleşir, çünkü 0 veya 1 öğeyi sıraya bakılmaksızın düzenlemenin yalnızca bir yolu vardır.
• Hem permütasyon hem de kombinasyon sayıları, n ve r arttıkça son derece hızlı büyür. Bu patlayıcı büyüme (kombinatoryal patlama olarak adlandırılır), kaç sayıdan çekildiğindeki mütevazı bir artışla piyango tarzı şansların neden bu kadar astronomik derecede küçüldüğünün tam nedenidir — örneğin 49’dan 6 seçimli bir piyangodan 59’dan 6 seçimli bir piyangoya geçmek, havuz yalnızca 10 sayı büyümesine rağmen şansları anlamlı ölçüde kötüleştirir.
• Bu formüller her öğenin farklı olduğunu ve hiçbirinin birden fazla kez seçilemeyeceğini varsayar. Tekrarlanan seçimlere izin veren bir senaryo (rakamların tekrarlanabildiği 4 haneli bir PIN gibi) tamamen farklı bir sayma formülü kullanır — buradaki standart nPr/nCr formüllerini uygulamadan önce tekrara izin verilip verilmediğini her zaman doğrulayın.

Yaygın Hatalar

• Sıra gerçekten önemli değilken permütasyon sayısını kullanmak, ya da tam tersi. Bu en yaygın hatadır — bir formül seçmeden önce, sorunun ifade edilişine göre tahmin etmek yerine, seçilen iki öğeyi yer değiştirmenin farklı bir sonuç sayılıp sayılmayacağını her zaman önce sorun.
• Aynı n ve r için kombinasyonların hiçbir zaman permütasyonlardan büyük olamayacağını unutmak. Aynı girdiler için bir kombinasyon sayısı karşılık gelen permütasyon sayısından büyük çıkıyorsa, bir şey yanlış girilmiş demektir — kombinasyonlar permütasyon sayısını böler, onu asla artırmaz.
• Bu formülleri tekrarlanan seçimlere izin veren bir duruma uygulamak. Her iki formül de her öğenin en fazla bir kez seçilebileceğini varsayar — tekrarlara izin veren bir problem (4 haneli bir PIN oluşturmak gibi) nPr veya nCr değil, tamamen farklı bir sayma yaklaşımı gerektirir.

Bilmekte Fayda Var

• Sadece olasılıkları saymak değil, belirli bir sonucun olasılığını gerçekten hesaplamak mı istiyorsunuz? Olasılık Hesaplayıcı bir kombinasyon veya permütasyon sayısını gerçek bir olasılığa dönüştürür.
• Sadece düzenlemeleri saymak yerine tam bir veri kümesiyle mi çalışıyorsunuz? İstatistik Hesaplayıcı bir sayı listesinden ortalama, standart sapma ve diğer özet rakamları hesaplar.
• İlgili bir kombinatorik problemin parçası olarak bir oranı basitleştirmeniz veya ortak bir payda bulmanız mı gerekiyor? OBEB ve OKEK Hesaplayıcı bir sayı kümesinin en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.