İstatistik

Ortalama, Medyan, Tepe Değer ve Yayılım Nasıl Bulunur

Bu hesaplayıcı, herhangi bir sayı listesinin ortalamasını, medyanını, tepe değerini, aralığını, varyansını ve standart sapmasını bulur. Sayılarınızı aşağıdaki kutuya yapıştırın veya yazın — virgül, boşluk veya yeni satırlarla ayırarak, herhangi bir kombinasyonda — ve tüm yaygın tanımlayıcı istatistikler bir kerede hesaplanır.

Ortalama, aritmetik ortalamadır. Medyan, sayılar sıralandığında ortadaki değerdir (veya çift sayıda eleman içeren bir liste için ortadaki iki değerin ortalamasıdır). Tepe değer, en sık görünen değer(ler)dir — her sayı tam olarak bir kez görünüyorsa tepe değer yoktur.

Standart sapma, sayıların ortalamadan ne kadar yayıldığını ölçer — küçük bir standart sapma, sayıların birbirine yakın kümelendiği anlamına gelir; büyük bir standart sapma ise geniş bir şekilde yayıldıkları anlamına gelir. Bu hesaplayıcı bunu iki şekilde bildirir: popülasyon standart sapması (sayılarınız önemsediğiniz tüm grup olduğunda) ve örneklem standart sapması (sayılarınız daha büyük bir popülasyonu tahmin etmek için kullanılan bir örneklem olduğunda) — örneklem versiyonu, bir örneklemin tam popülasyonun gerçek yayılımını düşük tahmin etme eğilimini düzeltmek için biraz daha büyüktür.

Formül

$$\vC{\text{Ortalama}} = \frac{\sum \vA{\text{Sayılar}}}{\vB{\text{Sayı Adedi}}}$$ $$\vD{\text{Popülasyon Varyansı}} = \frac{\sum (\vA{\text{Sayı}} - \vC{\text{Ortalama}})^2}{\vB{\text{Sayı Adedi}}}$$ $$\vD{\text{Örneklem Varyansı}} = \frac{\sum (\vA{\text{Sayı}} - \vC{\text{Ortalama}})^2}{\vB{\text{Sayı Adedi}} - 1}$$ $$\text{Standart Sapma} = \sqrt{\vD{\text{Varyans}}}$$

Hangi varyansın kullanıldığına bağlı olarak popülasyon veya örneklem.

Popülasyon ve örneklem versiyonları arasındaki tek fark, sayının kendisine mi yoksa sayı eksi bire mi (Bessel düzeltmesi olarak bilinir) bölündüğüdür — geri kalan her şey aynıdır.

Örnek Hesaplama

Sayılar 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9:

1. Sayı adedi: $\vB{8}$. Toplam: $\vA{40}$. Ortalama: $\vA{40} \div \vB{8} = \vC{5}$.
2. Sıralanmış: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — medyan, ortadaki iki değerin (4 ve 5) ortalamasıdır: $(4 + 5) \div 2 = 4,5$.
3. Tepe değer: 4 (üç kez görünür, başka herhangi bir değerden daha fazla).
4. Aralık: $9 - 2 = 7$.
5. Popülasyon standart sapması: 2,0. Örneklem standart sapması: ≈2,14.

Dikkate Alınması Gereken Önemli Faktörler

• Bir veri setinde aykırı değerler varsa veya çarpıklık varsa ortalama ve medyan çok farklı hikayeler anlatabilir. Tek bir çok büyük veya çok küçük değer ortalamayı kendine doğru çeker, oysa medyan aşırı değerlerden bağımsız olarak sıralı verinin ortasında sabit kalır — örneğin medyan hane geliri, bazı çok yüksek gelirler ortalamayı yukarı çekeceğinden, tam da bu nedenle ortalama gelir yerine (veya onun yanı sıra) yaygın olarak bildirilir.
• Popülasyon veya örneklem standart sapması seçimi tamamen sayılarınızın gerçekte neyi temsil ettiğine bağlıdır, tercihe değil. Girilen sayılar önemsediğiniz TÜM grup ise (belirli bir sınıftaki her öğrenci), popülasyonu kullanın. Daha büyük bir grubu tahmin etmek için kullanılan bir ÖRNEKLEM iseler (tüm müşterileri temsil etmesi amaçlanan bazı müşterilerin anketi), örneklemi kullanın — yanlışını seçmek gerçek değişkenliği sistematik olarak düşük veya yüksek gösterir.
• Bir veri seti, her zaman tek değerler olan ortalama ve medyanın aksine, tepe değeri olmayabilir, bir tepe değeri olabilir veya birden fazla tepe değeri olabilir. Bir listedeki her değer tam olarak bir kez görünüyorsa, basitçe tepe değer yoktur — ve iki veya daha fazla değer en sık görülen için berabere kalırsa, bir veri seti gerçekten “iki modlu” veya “çok modlu” olabilir, bu da genellikle altta yatan veri hakkında anlamlı bir sinyaldir.
• Standart sapma, değerlerin yaklaşık %68’inin ortalamanın bir standart sapması içinde düştüğü, kabaca çan şeklindeki (normal) dağılımlar için en sezgisel şekilde yorumlanır. Ağır çarpık veya çok farklı bir şekle sahip veriler için standart sapma yine de geçerli bir yayılım ölçüsüdür, ancak sezgisel “68-95-99,7 kuralı” yüzdeleri o kadar temiz uygulanmaz.

Yaygın Hatalar

• Alışkanlıktan dolayı her zaman popülasyon standart sapmasını (veya her zaman örneklem standart sapmasını) kullanmak. Hangisinin doğru olduğu, girilen sayıların tüm grup mu yoksa onun sadece bir örneklemi mi olduğuna tamamen bağlıdır — yanlışını seçmek, hesaplamanın geri kalanı ne kadar dikkatli yapılırsa yapılsın, gerçek yayılımı sistematik olarak düşük veya yüksek gösterir.
• Veriler çarpıksa ortalamayı “tipik değer” olarak ele almak. Alışılmadık derecede büyük veya küçük birkaç sayı, ortalamayı verilerin çoğunun gerçekte bulunduğu yerden uzaklaştırır — gelir veya ev fiyatları gibi çarpık veriler için medyan genellikle daha dürüst bir “tipik değer”dir.
• Tepe değerin olmayabileceğini, tek olabileceğini veya birden fazla olabileceğini unutmak. Her veri setinin tam olarak bir tepe değeri olduğunu varsaymak, bir listede tekrar eden değer olmadığında (tepe değer yok) veya birden fazla değer en sık görülen için berabere kaldığında (çok modlu) kafa karışıklığına yol açar — her ikisi de hata değil, normal ve beklenen sonuçlardır.

Bilinmesi Faydalı Olan

• Bir listeden hesaplamak yerine, bilinen bir ortalama ve standart sapmaya karşı tek bir değeri standartlaştırmanız mı gerekiyor? Z-Skoru Hesaplayıcı tek bir değeri z-skoruna ve yüzdelik dilime dönüştürür.
• Sadece iki sayıyla mı çalışıyorsunuz ve tam bir tanımlayıcı istatistik analizi yerine yüzde farklarını mı istiyorsunuz? Yüzde Hata Hesaplayıcı ve Yüzde Hesaplayıcı bu daha basit durumu kapsar.
• Zaten sahip olduğunuz bir veri setini tanımlamak yerine, belirli bir sonucun ne kadar olası olduğunu mu merak ediyorsunuz? Olasılık Hesaplayıcı tek ve birleşik olayların olasılıklarını hesaplar.