द्विघात सूत्र

x के हर मान के लिए ax² + bx + c = 0 को हल करना

द्विघात सूत्र ax² + bx + c = 0 के रूप के किसी भी समीकरण को x के लिए हल करता है, केवल समीकरण के तीन गुणांकों का उपयोग करते हुए। a, b, और c दर्ज करें, और यह कैलकुलेटर x के हर उस मान को खोजता है जो समीकरण को सत्य बनाता है — उस स्थिति सहित जहाँ उत्तर वास्तविक संख्याओं के बजाय सम्मिश्र संख्याओं से जुड़ा होता है।

एक द्विघात समीकरण के सही ढंग से गिने जाने पर हमेशा ठीक दो हल होते हैं: दो अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ, एक वास्तविक संख्या जो दो बार गिनी जाती है (“पुनरावृत्त मूल”), या सम्मिश्र संख्याओं की एक जोड़ी। कौन सी स्थिति लागू होती है यह पूरी तरह से विविक्तकर (वर्गमूल के नीचे का हिस्सा) के चिह्न पर निर्भर करता है — यह कैलकुलेटर आपको बताता है कि आपके पास कौन सी स्थिति है, केवल कच्ची संख्याएँ नहीं।

सूत्र

$\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ के लिए (जहाँ $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

वर्गमूल के नीचे का पद, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, को विविक्तकर कहा जाता है:

हल किया गया उदाहरण

$x^2 - 3x + 2 = 0$ के लिए ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. विविक्तकर: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, जो धनात्मक है, इसलिए दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं।
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$।
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ या $x = \frac{2}{2} = 1$।

जाँच: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ और $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — दोनों हल सही हैं।

ध्यान रखने योग्य मुख्य बातें

• एक द्विघात समीकरण के हल ठीक वहीं होते हैं जहां इसका ग्राफ (एक परवलय) x-अक्ष को पार करता है। दो अलग-अलग वास्तविक मूल का मतलब है कि परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर पार करता है; एक पुनरावृत्त मूल का मतलब है कि यह केवल एक बिंदु (इसके शीर्ष) पर अक्ष को छूता है; सम्मिश्र मूल का मतलब है कि परवलय कभी भी x-अक्ष को नहीं छूता, पूरी तरह से इसके ऊपर या नीचे रहता है।
• अकेला विविक्तकर आपको किसी भी आगे की गणना करने से पहले हल की प्रकृति बताता है। यह जांचना कि $b^2 - 4ac$ धनात्मक, शून्य, या ऋणात्मक है, यह पहले से जानने का एक त्वरित तरीका है कि क्या किसी समीकरण के दो वास्तविक हल हैं, एक पुनरावृत्त हल है, या एक सम्मिश्र-संयुग्मी जोड़ी है, सूत्र के बाकी हिस्से को पहले पूरा किए बिना।
• एक द्विघात समीकरण का a गुणांक कभी शून्य नहीं हो सकता, अन्यथा यह द्विघात नहीं रहता। यदि a = 0, तो $x^2$ पद पूरी तरह से गायब हो जाता है और समीकरण द्विघात के बजाय रैखिक (सरल बीजगणित द्वारा पाया गया अधिकतम एक हल) बन जाता है — यही कारण है कि द्विघात सूत्र स्वयं केवल तभी मान्य है, और केवल तभी आवश्यक है, जब a गैर-शून्य हो।
• वास्तविक गुणांकों वाले एक द्विघात के लिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी जोड़ी में आते हैं। जब विविक्तकर ऋणात्मक होता है, तो दोनों हल हमेशा $p + qi$ और $p - qi$ का रूप लेते हैं (समान वास्तविक भाग, विपरीत-चिह्न वाले काल्पनिक भाग) — यह जोड़ी वर्गमूल के नीचे एक ऋणात्मक संख्या पर लागू सूत्र में ± का सीधा परिणाम है।

सामान्य गलतियाँ

• ± को भूल जाना और केवल एक मूल बताना। द्विघात सूत्र के ± चिह्न का मतलब है कि दो अलग-अलग गणनाएँ करनी हैं (एक + के साथ, एक - के साथ) — पहले के बाद रुक जाने से जब भी विविक्तकर ठीक शून्य नहीं होता, आधा उत्तर छूट जाता है।
• ऋणात्मक विविक्तकर को “कोई हल नहीं” के रूप में मानना, न कि सम्मिश्र हल के रूप में। ऋणात्मक विविक्तकर का मतलब है कि समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है, लेकिन फिर भी इसके दो मान्य सम्मिश्र हल हैं — समीकरण अनसुलझा नहीं है, बस वास्तविक संख्याओं के भीतर हल करने योग्य नहीं है।
• a = 0 दर्ज करना और द्विघात उत्तर की अपेक्षा करना। गैर-शून्य a के बिना, समीकरण रैखिक है, द्विघात नहीं, और सूत्र का 2a से विभाजन अपरिभाषित है — एक रैखिक समीकरण को इसके बजाय सरल बीजगणित की आवश्यकता होती है।

जानने योग्य उपयोगी बातें

• पूरे समीकरण को हल करने के बजाय केवल एक वर्गमूल या n-वें मूल की आवश्यकता है? वर्गमूल / N-वाँ मूल कैलकुलेटर वर्गमूल और n-वें मूल की सीधे गणना करता है।
• अकेले घातांकों के साथ काम कर रहे हैं? घातांक कैलकुलेटर घातों और मूलों की गणना करता है।
• इस समीकरण से परे त्रिकोणमिति, लघुगणक, या अन्य फलनों के लिए एक व्यापक कैलकुलेटर चाहिए? वैज्ञानिक कैलकुलेटर वैज्ञानिक गणनाओं की पूरी श्रृंखला को संभालता है।