İkinci Derece Denklem

Hesaplamaları Karşılaştır

İndirmeler

Bu hesaplama için girdilerinizi ve sonuçlarınızı, ayrıca karşılaştırdığınız ek hesaplamaları içerir.

Her x Değeri için ax² + bx + c = 0 Çözümü

İkinci dereceden denklem formülü, yalnızca denklemin üç katsayısını kullanarak ax² + bx + c = 0 biçimindeki herhangi bir denklemi x için çözer. a, b ve c’yi girin; bu hesaplayıcı, cevabın gerçek sayılar yerine karmaşık sayılar içerdiği durum dahil, denklemi doğru yapan her x değerini bulur.

Doğru sayıldığında ikinci dereceden bir denklemin her zaman tam olarak iki çözümü vardır: iki farklı gerçek sayı, iki kez sayılan bir gerçek sayı (“tekrarlı kök”) veya bir çift karmaşık sayı. Hangi durumun geçerli olduğu tamamen diskriminantın (karekök altındaki kısım) işaretine bağlıdır — bu hesaplayıcı size sadece ham sayıları değil, hangisine sahip olduğunuzu söyler.

Formül

$\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ için (burada $\vA{a} \neq 0$ ):

x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}

Karekök altındaki terim, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$ , diskriminant olarak adlandırılır:

Diskriminant	Ne anlama gelir
Pozitif	İki farklı gerçek kök
Tam olarak sıfır	Bir tekrarlı gerçek kök
Negatif	İki karmaşık-eşlenik kök (gerçek çözüm yok)

Örnek Hesaplama

$x^2 - 3x + 2 = 0$ için ( $\vA{a}=1$ , $\vB{b}=-3$ , $\vC{c}=2$ ):

Diskriminant: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$ , bu pozitif, bu yüzden iki farklı gerçek kök vardır.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$ .
$x = \frac{4}{2} = 2$ ya da $x = \frac{2}{2} = 1$ .

Kontrol: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ ve $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — her iki çözüm de doğrulanıyor.

Dikkate Alınması Gereken Önemli Faktörler

İkinci dereceden bir denklemin çözümleri, tam olarak grafiğinin (bir parabol) x eksenini kestiği noktalardır. İki farklı gerçek kök, parabolün x eksenini iki noktada kestiği anlamına gelir; tekrarlı bir kök, eksene yalnızca bir noktada (tepe noktasında) değdiği anlamına gelir; karmaşık kökler, parabolün x eksenine hiç değmediği, tamamen üzerinde veya altında kaldığı anlamına gelir.
Diskriminant tek başına, daha fazla hesaplama yapmadan çözümlerin DOĞASINI söyler. $b^2 - 4ac$ ‘nin pozitif, sıfır veya negatif olup olmadığını kontrol etmek, formülün geri kalanını tamamlamaya gerek kalmadan bir denklemin iki gerçek çözümü, bir tekrarlı çözümü veya bir karmaşık-eşlenik çifti olup olmadığını önceden bilmenin hızlı bir yoludur.
İkinci dereceden bir denklemin a katsayısı asla sıfır olamaz, aksi takdirde ikinci dereceden olmaktan çıkar. a = 0 ise, $x^2$ terimi tamamen kaybolur ve denklem ikinci dereceden yerine doğrusal hale gelir (basit cebirle bulunan en fazla bir çözüm) — bu tam olarak ikinci dereceden denklem formülünün yalnızca a sıfır değilken geçerli ve gerekli olmasının nedenidir.
Gerçek katsayılı bir ikinci dereceden denklem için karmaşık kökler her zaman eşlenik çiftler halinde gelir. Diskriminant negatif olduğunda, iki çözüm her zaman $p + qi$ ve $p - qi$ biçimini alır (özdeş gerçek kısımlar, zıt işaretli sanal kısımlar) — bu eşleşme, formüldeki ±‘nin karekök altındaki negatif bir sayıya uygulanmasının doğrudan bir sonucudur.

Sık Yapılan Hatalar

± işaretini unutup yalnızca bir kök bildirmek. İkinci dereceden denklem formülündeki ± işareti, yapılması gereken iki ayrı hesaplama olduğu anlamına gelir (biri + ile, biri - ile) — ilkinden sonra durmak, diskriminant tam olarak sıfır olmadığı sürece cevabın yarısını kaçırır.
Negatif bir diskriminantı karmaşık bir çözüm yerine “çözüm yok” olarak ele almak. Negatif bir diskriminant, denklemin GERÇEK bir çözümü olmadığı anlamına gelir, ancak yine de iki geçerli karmaşık çözümü vardır — denklem çözülemez değildir, yalnızca gerçek sayılar içinde çözülemezdir.
a = 0 girip ikinci dereceden bir cevap beklemek. Sıfırdan farklı bir a olmadan denklem ikinci dereceden değil doğrusaldır ve formüldeki 2a’ya bölme tanımsız hale gelir — doğrusal bir denklem bunun yerine basit cebir gerektirir.

Bilmekte Fayda Var

Tüm bir denklemi çözmek yerine yalnızca bir karekök veya n. dereceden köke mi ihtiyacınız var? Karekök / N. Kök Hesaplayıcı karekökleri ve n. dereceden kökleri doğrudan hesaplar.
Üslerle tek başına mı çalışıyorsunuz? Üs Hesaplayıcı üsleri ve kökleri hesaplar.
Bu denklemin ötesinde trigonometri, logaritma veya diğer fonksiyonlar için daha geniş bir hesaplayıcıya mı ihtiyacınız var? Bilimsel Hesap Makinesi geniş bir bilimsel hesaplama yelpazesini kapsar.

Kaynak: Vikipedi: İkinci Dereceden Denklem Formülü.

Sıkça Sorulan Sorular

İkinci dereceden denklem formülü nedir?

ax² + bx + c = 0 biçimindeki bir denklem için formül x = (-b ± √(b² - 4ac)) ÷ (2a) verir. Denklemi doğru yapan her x değerini, yalnızca denklemin üç katsayısını kullanarak çözer.

Diskriminant bana ne söyler?

Diskriminant, karekök altındaki kısımdır, b² - 4ac. Pozitif bir diskriminant iki farklı gerçek kök anlamına gelir, sıfır tam olarak bir tekrarlı gerçek kök anlamına gelir ve negatif bir diskriminant, iki kökün gerçek sayılar yerine karmaşık (sanal birim i içeren) olduğu anlamına gelir.

Ya "a" sıfırsa?

a = 0 ise, denklem artık gerçekte ikinci dereceden değildir — birinci derecedendir (bx + c = 0), sıfıra bölme gerektireceğinden formülün çözemeyeceği bir durumdur. Bu hesaplayıcı bu durumu işaretler ve bunun yerine birinci dereceden bir denklem kullanmanızı söyler.