Üçgen

Üç Bilinen Değerden Bir Üçgeni Çözme

Bir üçgen, en az biri kenar olmak kaydıyla, 6 tanımlayıcı değerinden — 3 kenar uzunluğu ve 3 iç açısından — herhangi 3’ü ile tamamen belirlenir. Zaten bildiğiniz herhangi 3 değeri girin (kenarlar için uygun herhangi bir birimde — hesaplayıcı dahili olarak dönüştürür) ve geri kalanını çözer: her kenarı, her açıyı, çevreyi, alanı ve iki sınıflandırmayı — kenar uzunluklarına göre (eşkenar, ikizkenar veya çeşitkenar) ve açılara göre (dar açılı, dik açılı veya geniş açılı). Hangi tek değerin başlık cevabı olarak gösterileceğini seçmek için “Çözülecek Değer” açılır menüsünü kullanın; hangisi başlık olarak seçilirse seçilsin her değer yine de hesaplanır ve “Sayılar” altında listelenir.

Bunlar klasik geometri durumlarıdır: üç kenar (SSS), iki kenar ve aralarındaki açı (SAS), iki açı ve herhangi bir kenar (ASA/AAS) veya iki kenar ve aralarında olmayan bir açı (SSA). Bu son durum genel olarak gerçekten belirsizdir — aynı iki kenar uzunluğu ve dışlarındaki bir açı bazen iki farklı geçerli üçgene tamamlanabilir — bu yüzden bu hesaplayıcı bunu işaretler ve sessizce tahmin etmek yerine bunun yerine dahil edilen açıyı veya üçüncü kenarı ister.

Her üç kenar uzunluğu da gerçekte bir üçgen oluşturamaz. “Üçgen eşitsizliği”, her kenarın diğer ikisinin toplamından kısa olmasını gerektirir — 1, 2 ve 10 uzunluğundaki üç pipeti, onları nasıl açılandırırsanız açılandırın, üç köşede buluşacak şekilde düzenlemek mümkün değildir. Bu hesaplayıcı önce bunu kontrol eder ve girdiğiniz uzunluklar çalışmıyorsa açıkça açıklar.

Formül

Alan, yarı çevre $\vD{s}$ (çevrenin yarısı) kullanılarak Heron formülünden gelir:

$$\text{Alan} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

Her açı, belirli bir kenarın karşısındaki açı için çözülen kosinüs teoreminden gelir — örneğin, a kenarının karşısındaki açı:

$$\text{A Açısı} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

Kenarlar döndürülerek aynı formül B ve C açılarını verir. Üç açı her zaman tam olarak 180°‘ye toplanır.

Örnek Hesaplama

Kenarları 7, 8 ve 9 olan bir üçgen:

1. Yarı çevre: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$.
2. Alan: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26,83$.
3. 7-kenarının karşısındaki açı: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48,19°$.
4. 8-kenarının karşısındaki açı: $\approx 58,41°$.
5. 9-kenarının karşısındaki açı: $\approx 73,40°$ — en büyük açı, ama yine de 90°‘nin altında.

Üç kenarın da uzunluğu farklı ve her açı 90°‘nin altında, bu yüzden bu üçgen çeşitkenar ve dar açılıdır.

Dikkate Alınması Gereken Önemli Faktörler

• İki üçgen sınıflandırma sistemi (kenarlara göre ve açılara göre) birbirinden tamamen bağımsızdır. Bir üçgen her zaman tam olarak eşkenar/ikizkenar/çeşitkenardan biri VE tam olarak dar açılı/dik açılı/geniş açılıdan biridir — bu iki etiket gerçekten farklı özellikleri tanımlar, bu yüzden bir üçgen doğru bir şekilde aynı anda her iki etiketi de alır (örneğin “ikizkenar ve geniş açılı” tamamen geçerli bir kombinasyondur).
• SSA (kenar-kenar-açı) durumu, bu hesaplayıcının bir tuhaflığı değil, üçgen geometrisinde iyi bilinen gerçek bir belirsizliktir. İki kenar ve dahil olmayan bir açı verildiğinde, matematiksel olarak sıfır, bir veya iki farklı üçgenin tam olarak bu ölçümleri karşılaması mümkündür — bu, üçgen geometrisinin gerçek bir özelliğidir (trigonometri derslerinde bazen “belirsiz durum” olarak adlandırılır), bu yüzden bu hesaplayıcı sessizce tahmin etmek yerine farklı bir girdi kombinasyonu ister.
• Üçgen eşitsizliği, üç verilen uzunluğun daha fazla matematik yapmadan önce gerçek bir üçgen oluşturup oluşturamayacağını kontrol etmenin hızlı bir yoludur. Her kenar diğer ikisinin toplamından kesinlikle daha kısa olmalıdır — bu kontrol başarısız olursa, nasıl düzenlenirse düzenlensin bu üç uzunlukla geçerli bir üçgen mevcut değildir.
• HERHANGİ bir üçgenin üç iç açısı her zaman tam olarak 180 dereceye toplanır; bu, iç tutarlılık kontrolü olarak kullanılan sabit bir geometrik gerçektir. İki açı bilindiğinde, üçüncüsü 180°‘den çıkarılarak otomatik olarak belirlenir — bu sabit toplam özelliği, tam olarak sadece iki açıyı (artı herhangi bir kenarı) bilmenin bir üçgeni tam olarak çözmek için yeterli bilgi olmasının nedenidir.

Sık Yapılan Hatalar

• Hiç kenar uzunluğu olmadan üç açı girmek. Yalnızca üç açı, bir üçgenin sadece şeklini belirler, boyutunu değil — sonsuz sayıda üçgen aynı üç açıyı paylaşır ama farklı ölçeklerde olabilir — bu yüzden yalnızca bir şekil değil, gerçek bir alan ve kenar uzunlukları kümesi elde etmek için her zaman en az bir kenar uzunluğu gereklidir.
• SAS durumunda hangi açının “dahil” olduğunu karıştırmak. Kosinüs teoremi için önemli olan, verilen iki kenar arasındaki açıdır — üçgenin başka bir yerinden bir açı, bunun yerine gerçekten belirsiz olan SSA durumunu oluşturur ve bu hesaplayıcı tahmin etmek yerine bunu işaretler.
• Herhangi üç pozitif sayının bir üçgen oluşturabileceğini varsaymak. Üçgen eşitsizliğini geçemeyen bir uzunluk kümesi (bir kenar diğer ikisinin toplamı kadar veya daha uzun), sayılar nasıl düzenlenirse düzenlensin gerçek bir üçgeni hiç tanımlamaz.

Bilmekte Fayda Var

• Daha büyük bir şeklin parçası olarak bir üçgenin alanı veya kenar uzunluklarıyla mı çalışıyorsunuz? Alan Hesaplayıcı, üçgenlerin ötesinde çeşitli yaygın 2D şekiller için alanı kapsar.
• Üç bilinen üçgen değeri yerine iki koordinat noktası arasındaki mesafe veya eğime mi ihtiyacınız var? Mesafe, Orta Nokta ve Eğim Hesaplayıcı bunu doğrudan halleder.