En Küçük Kareler Regresyon

Dağınık Veri Noktalarına Doğru Uydurma

En küçük kareler yöntemi, bir veri noktası dağılımına en iyi uyan tek düz doğruyu bulur. Bir x, y çiftleri listesi girin — her satırda bir tane — bu hesaplayıcı da doğrunun eğimini ve kesişim noktasını, ayrıca noktaların doğruyu ne kadar yakından takip ettiğini bulsun.

Formül

$$\vC{m} = \frac{n\sum{xy} - \sum{x}\sum{y}}{n\sum{x^2} - \left(\sum{x}\right)^2}$$ $$\vC{b} = \frac{\sum{y} - m\sum{x}}{n}$$

burada $m$ eğim, $b$ kesişim noktası, ve $n$ veri noktası sayısıdır — birlikte, her noktadan doğruya olan toplam karesel mesafeyi en aza indiren $y = mx + b$ doğrusunu tanımlarlar.

Örnek Hesaplama

(1, 1), (2, 2) ve (3, 4) noktalarından bir doğru uydurma:

1. $m = \frac{3(17) - 6(7)}{3(14) - 6^2} = \frac{51 - 42}{42 - 36} = \frac{9}{6} = \vC{1,5}$
2. $b = \frac{7 - 1,5(6)}{3} = \frac{7 - 9}{3} = \vC{-0,667}$ — uydurulan doğru bu nedenle $y = 1,5x - 0,667$‘dir, yaklaşık $0,98$‘lik bir korelasyon katsayısıyla.

Dikkate Alınması Gereken Önemli Faktörler

• Güçlü bir korelasyon katsayısı, x’in gerçekten y’ye neden olduğu anlamına gelmez. İki değişken, biri diğerini gerçekten etkilediği için, ikisi de üçüncü bir faktör tarafından yönlendirildiği için veya küçük bir veri setinde tamamen tesadüfen güçlü bir şekilde ilişkili olabilir — korelasyon, doğrusal bir ilişkinin gücünü tanımlar, arkasındaki nedeni değil.
• Bu yöntem, gerçek ilişkinin doğrusal olduğunu varsayar; bu her zaman doğru bir varsayım değildir. Bir nokta dağılımı aslında bir eğriyi takip ediyorsa, ona düz bir doğru zorlamak, teknik olarak “en iyi uyum” olan ama yine de verileri kötü tanımlayan bir doğru üretebilir — uyuma güvenmeden önce noktaları görsel olarak çizmek iyi bir uygulamadır.
• Tek bir olağandışı nokta (aykırı değer), uydurulan doğruyu orantısız şekilde kendine doğru çekebilir. En küçük kareler yöntemi KARESEL mesafeleri en aza indirdiğinden, genel eğilimden uzak bir nokta, ona yakın bir noktadan çok daha fazla katkıda bulunur — tek bir aşırı aykırı değere sahip küçük bir veri seti buna özellikle duyarlıdır.
• Diğer her şey eşit olduğunda, daha fazla veri noktası genellikle daha güvenilir bir uyum üretir. Yalnızca 3-4 nokta üzerinden uydurulan bir doğru (örnek hesaplamada olduğu gibi) ikna edici görünebilir ancak aynı ilişkinin düzinelerce nokta üzerinden ölçülmesinden çok daha fazla belirsizlik taşır — korelasyon gücü tek başına uyumu gerçekte ne kadar verinin desteklediğini yakalamaz.

Sık Yapılan Hatalar

• Yüksek bir korelasyon katsayısını nedensellik kanıtı olarak ele almak. Güçlü bir r değeri yalnızca noktaların bir doğru etrafında sıkıca kümelendiğini gösterir — bir değişkenin diğerinde gerçekten değişikliklere neden olup olmadığı hakkında hiçbir şey söylemez.
• Aslında eğrisel olan verilere düz bir doğru uydurmak. En küçük kareler yöntemi, doğrusal bir uyum temel örüntüyü kötü tanımlasa bile her zaman bir eğim ve kesişim noktası döndürür — sonuca güvenmeden önce noktaları önce çizin veya korelasyon katsayısının şaşırtıcı derecede düşük olup olmadığını kontrol edin.
• Çok az veri noktası kullanmak ve uyumu güvenilir olarak ele almak. Yalnızca 3-4 nokta üzerinden bir doğru ikna edici görünebilir ancak aynı ilişkinin düzinelerce nokta üzerinden ölçülmesinden çok daha fazla belirsizlik taşır.
• Fark etmeden tek bir aykırı değerin uyuma hakim olmasına izin vermek. En küçük kareler yöntemi karesel mesafeleri en aza indirdiğinden, tek bir uzak nokta tüm doğruyu kendine doğru çekebilir — olağandışı bir noktayı kaldırmanın sonucu önemli ölçüde değiştirip değiştirmediğini kontrol etmeye değer.

Bilmekte Fayda Var

• Birçok nokta üzerinden bir eğilim doğrusu uydurmak yerine iki bilinen nokta arasında bir değer tahmin etmeniz mi gerekiyor? Doğrusal Aradeğerleme Hesaplayıcı, bu daha doğrudan durumu ele alır.
• Belirli bir değerin bir veri setinin genel yayılımıyla nasıl karşılaştırıldığını görmek mi istiyorsunuz? Z-Skoru Hesaplayıcı tam olarak bunu ölçer.
• Daha geniş özet istatistikler için aynı sayı listesiyle mi çalışıyorsunuz? İstatistik Hesaplayıcı, ortalama, medyan, ve standart sapmayı kapsar.