Z-Skoru

Bir Değeri Dağılımın Ortalamasına Göre Standartlaştırma

Bir z-puanı, bir değerin bir dağılımın ortalamasının kaç standart sapma üstünde veya altında olduğunu ölçer. Z-puanını ve karşılık gelen yüzdelik dilimi — bir normal dağılımın ne kadarının o değere eşit veya altında kaldığını — bulmak için bir değer, dağılımın ortalaması ve standart sapmasını girin.

Z-puanı 0, değerin tam olarak ortalamaya eşit olduğu anlamına gelir. Pozitif z-puanları ortalamanın üstündedir; negatif z-puanları altındadır. Normal bir dağılımın yaklaşık %68’i ortalamanın 1 standart sapması içinde, %95’i 2 standart sapması içinde ve %99,7’si 3 standart sapması içinde olduğundan, tek başına bir z-puanı bir değerin ne kadar olağandışı olduğuna dair anında bir fikir verir.

Formül

$$\text{Z-Puanı} = \frac{\vA{\text{Değer}} - \vB{\text{Ortalama}}}{\vC{\text{Standart Sapma}}}$$

Yüzdelik dilim, standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonundan gelir — bu dağılımdan rastgele seçilen bir değerin girilen z-puanına eşit veya altında kalma olasılığı, burada hata fonksiyonunun köklü bir polinom yaklaşımı ile hesaplanır.

Örnek Hesaplama

IQ puanlarının ortalaması 100 ve standart sapması 15 olduğunda 115 IQ puanı:

1. Z-puanı: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, sonra $15 \div \vC{15} = 1,0$.
2. Yüzdelik dilim: tam olarak 1 olan bir z-puanı 84,13. yüzdelik dilime karşılık gelir — bu değer dağılımın yaklaşık %84’ünden daha yüksektir.

Dikkate Alınması Gereken Önemli Faktörler

• Bu hesaplama, altta yatan dağılımın gerçekten normal (çan şeklinde) olduğunu varsayar; bu her gerçek veri seti için doğru değildir. Birçok gerçek dünya ölçümü (boy veya IQ puanları gibi) bunun iyi çalışması için yeterince yakından normal bir dağılıma yaklaşır, ancak ağır şekilde çarpık veya birden fazla tepe noktası olan bir dağılımın yüzdelik dilimi, bu hesaplayıcının dayandığı standart normal eğri tarafından doğru bir şekilde tanımlanmaz.
• Bir z-puanı, farklı dağılımlardan gelen değerleri aynı karşılaştırılabilir ölçeğe standartlaştırır. Bu, tam olarak z-puanlarını farklı ortalamalara ve standart sapmalara sahip iki farklı ölçüm arasında bir değerin göreceli konumunu karşılaştırmak için yararlı kılan şeydir — farklı bir puanlama ölçeğine sahip farklı bir sınavdaki bir test puanını karşılaştırmak gibi.
• Bu hesaplayıcı TEK YÖNLÜ bir yüzdelik dilim (bir değere eşit veya altındaki dağılımın payı) hesaplar, bu iki yönlü (her iki uçtaki) bir olasılıktan farklıdır. Sorulan soruya bağlı olarak — “benden daha düşük puan alan pay ne kadar” karşı “bu değer her iki yönde de ne kadar olağandışı” — kullanılacak ilgili rakam farklılık gösterebilir ve belirli bir kullanım durumunun gerçekte hangisine ihtiyaç duyduğu konusunda net olmakta fayda vardır.
• Z-Puanı Hesaplayıcısı ve İstatistik Hesaplayıcısı ilgili ama gerçekten farklı soruları yanıtlar. İstatistik Hesaplayıcısı, ham sayılardan bir veri setinin KENDİ ortalamasını ve standart sapmasını hesaplarken, bu hesaplayıcı TEK bir değeri ZATEN BİLİNEN bir dağılımın ortalamasına ve standart sapmasına göre puanlar — ikisi genellikle birlikte kullanılır, önce bir dağılımın parametreleri hesaplanır, ardından bireysel değerler ona göre puanlanır.

Yaygın Hatalar

• Bir örneklem istatistiğini gerçek popülasyon ortalaması/standart sapmasıymış gibi kullanmak. Küçük bir örneklemden tahmin edilen ortalama ve standart sapma kendi belirsizliğini taşır — bunları kesin popülasyon parametreleri olarak ele almak, bir yüzdelik dilimin gerçekte olduğundan daha kesin görünmesine neden olabilir.
• Kontrol etmeden altta yatan verilerin normal dağıldığını varsaymak. Yüzdelik dilime dönüştürme yalnızca gerçekten çan şeklindeki veriler için geçerlidir — çarpık veya çok tepeli bir dağılım için hesaplanan z-puanı geçerli kalır, ancak ondan elde edilen yüzdelik dilim rakamı ciddi şekilde yanıltıcı olabilir.
• Tek yönlü bir yüzdelik dilimi iki yönlü (her iki uçtaki) bir olasılıkla karıştırmak. “Benden daha düşük puan alan pay ne kadar” ile “bu değer her iki yönde de ne kadar olağandışı” farklı cevapları olan farklı sorulardır — durum için yanlışını kullanmak, sonucun yanlış yorumlanmasına yol açar.

Bilmekte Fayda Var

• Buraya girmek için önce ortalama ve standart sapmaya mı ihtiyacınız var? İstatistik Hesaplayıcı, her ikisini de ham bir sayı listesinden doğrudan hesaplar.
• Tek bir değeri puanlamak yerine bir tahminin ne kadar güvenilir olduğunu ifade etmek mi istiyorsunuz? Güven Aralığı Hesaplayıcı, tek bir standartlaştırılmış puan yerine bir örneklem istatistiği etrafında bir aralık oluşturur.