Güven Aralığı

Güven Aralığı Nasıl Hesaplanır

Bir güven aralığı, bir örneklemin kendi ortalaması etrafında oluşturulan ve muhtemelen gerçek popülasyon ortalamasını içeren bir değerler aralığıdır. Bir örneklemin ortalamasını, standart sapmasını ve büyüklüğünü girin, bir güven düzeyi seçin; bu hesaplayıcı, gerçek popülasyon ortalamasının muhtemelen düştüğü aralığı bulur.

Örneğin, “%95 güven aralığı”, aynı örnekleme sürecini birçok kez tekrarlarsanız, ürettiği aralıkların yaklaşık %95’inin gerçek popülasyon ortalamasını içereceği anlamına gelir. Gerçek ortalamanın bu tek belirli aralığın içine düşme olasılığının %95 olduğu anlamına gelmez — insanların bunu ifade etmesinin yaygın, teknik olarak yanlış bir yolu. Daha geniş bir aralık (daha yüksek güven düzeyi) daha geniş bir ağ atar ve gerçek ortalamayı içerme olasılığı daha yüksektir; daha dar bir aralık daha kesindir ama daha az emindir.

Formül

$$\vE{\text{Standart Hata}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{Hata Payı}} = \vC{z} \times \vE{\text{Standart Hata}}$$ $$\text{Güven Aralığı} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Hata Payı}}$$

Burada $\vA{s}$ örneklemin standart sapması, $\vB{n}$ örneklem büyüklüğü, $\vC{z}$ seçilen güven düzeyi için kritik değer (standart normal dağılımdan bakılır) ve $\vD{\bar{x}}$ örneklem ortalamasıdır. Daha büyük bir örneklem büyüklüğü, standart hatayı — ve dolayısıyla tüm aralığı — daraltır, çünkü daha fazla veri gerçek ortalamanın daha kesin bir tahminini verir.

Örnek Hesaplama

25 öğeden oluşan bir örneklemin ortalaması 100 ve standart sapması 15’tir, %95 güven düzeyinde (kritik değer z = 1,96):

1. Standart hata: $\vE{\text{Standart Hata}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. Hata payı: $\vF{\text{Hata Payı}} = \vC{1.96} \times \vE{3} = \vF{5.88}$.
3. Güven aralığı: $\text{Güven Aralığı} = \vD{100} \pm \vF{5.88} = [94,12, 105,88]$.

Yani gerçek popülasyon ortalaması muhtemelen (%95 güvenle) 94,12 ile 105,88 arasında bir yerdedir.

Dikkate Alınması Gereken Önemli Faktörler

• Bir güven aralığı, örneklemin nasıl toplandığı hakkında hiçbir şey söylemez. Buradaki matematik, örneklemin popülasyonun gerçekten rastgele ve temsili bir örneklemi olduğunu varsayar — yanlı veya rastgele olmayan bir örnekleme yöntemi, kesin görünen ama tamamen yanlış bir değere odaklanmış bir güven aralığı üretebilir; bu formül bunu tespit edemez veya düzeltemez.
• Aralık, altta yatan verinin en azından yaklaşık olarak normal dağıldığını veya örneklemin Merkezi Limit Teoremi’nin geçerli olması için yeterince büyük olduğunu varsayar. Ağır çarpık bir dağılımdan alınan küçük bir örneklem için hem z-dağılımı hem de t-dağılımı yaklaşımları daha az güvenilir hale gelir.
• Bir anket veya araştırmada bildirilen güven aralığı ve hata payı, aynı temel fikri anlatır. Belirtilen bir güven düzeyinde (genellikle %95) “artı eksi 3 puanlık bir hata payı” bildiren bir haber, tam olarak bu hesaplayıcının hesapladığı aralığı, sadece farklı ifade edilmiş şekilde anlatır.
• Daha dar olması, güven pahasına geliyorsa her zaman daha iyi değildir. Daha düşük bir güven düzeyinde (örneğin %95 yerine %80) daha sıkı bir aralık daha kesindir ama gerçek değeri gerçekten içerme olasılığı daha düşüktür — kesinlik ve güven arasındaki doğru denge, tahminin ne için kullanılacağına bağlıdır.

Yaygın Hatalar

• “%95 güven”i “gerçek ortalamanın bu aralıkta olma olasılığı %95” olarak okumak. Bir örneklem gerçekten toplanıp aralık hesaplandığında, gerçek popülasyon ortalaması ya onun içindedir ya da değildir — artık konuşulacak bir olasılık kalmaz. %95, bu tek özel sonucu değil, çok sayıda tekrarlanan örneklem boyunca YÖNTEMİN uzun vadeli davranışını tanımlar.
• Varsayımları kontrol etmeden bu z-dağılımı tabanlı formülü küçük bir örnekleme uygulamak. Z-dağılımı ya büyük bir örneklem (geleneksel olarak n yaklaşık 30 veya daha fazla) ya da bilinen bir popülasyon standart sapması varsayar. Yalnızca tahmini bir standart sapmaya sahip küçük bir örneklem, teknik olarak bunun yerine biraz daha geniş — ve daha dürüst — bir aralık üreten t-dağılımını kullanmalıdır.
• Güven aralığını ham verinin aralığıyla karıştırmak. Aralık, popülasyon ortalaması hakkındaki belirsizliği tanımlar, bireysel veri noktalarının nerede yer aldığını değil — bir veri setinin değerleri güven aralığından çok daha geniş bir şekilde dağılmış olabilirken, özellikle büyük bir örneklemde, ortalamanın kendisi üzerindeki aralık dar kalabilir.

Bilmekte Fayda Var

Standart hata, örneklem büyüklüğünün kendisiyle değil karekökü ile küçüldüğünden, bir hata payını yarıya indirmek genellikle örneklem büyüklüğünü sadece iki katına değil, yaklaşık dört katına çıkarmak anlamına gelir — bir anket veya deneyin gerçekte ne kadar büyük olması gerektiğini planlarken önemli olan bir detay. Bu aynı zamanda, sadece birkaç yüz katılımcıya sahip anketlerin neden yine de saygın derecede dar bir hata payı bildirebildiğini de açıklar: bir örneklem birkaç yüze ulaştığında, karekök ilişkisi her ek katılımcının giderek daha az kesinlik kazandırdığı anlamına gelir, bu yüzden anketörler paydan bir puanın kesrini kısmak için örneklem büyüklüklerini on binlere çıkarmakta nadiren değer görürler.