三角形計算機

この計算機の仕組み

三角形の面積、周囲長、3つすべての内角は、高さや角度を直接測定することなく、3辺の長さだけから求めることができます。 3辺(都合の良い単位で構いません — この計算機は内部で変換します)を入力すると、面積、周囲長、各角度、そして2つの分類 — 辺の長さによる(正三角形、二等辺三角形、不等辺三角形)分類と角度による(鋭角、直角、鈍角)分類 — が返されます。

どんな3つの長さでも実際に三角形を形成できるわけではありません。「三角不等式」は、各辺が他の2つの合計より短いことを要求します — 長さ1、2、10のストローを3本用意しても、どう角度をつけても3つの角で出会うように配置することはできません。この計算機はまずそれを確認し、入力した長さが機能しない場合は明確に説明します。

計算式

面積はヘロンの公式から、半周長s(周囲長の半分)を使って求められます:

$$\text{面積} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

各角度は余弦定理から、特定の辺の対角を解いて求められます — 例えば、辺aの対角:

$$\text{角A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

辺を回転させた同じ公式が角Bと角Cを与えます。3つの角は常にちょうど180°に合計されます。

計算例

辺が7、8、9の三角形の場合:

1. 半周長: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$。
2. 面積: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$。
3. 7の辺の対角: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48.19°$。
4. 8の辺の対角: $\approx 58.41°$。
5. 9の辺の対角: $\approx 73.40°$ — 最大の角ですが、それでも90°未満です。

3辺すべてが異なる長さで、すべての角が90°未満であるため、この三角形は不等辺三角形かつ鋭角三角形です。