順列組み合わせ計算機

この計算機の仕組み

順列(nPr)は、順序が重要なn個からr個の項目を並べる方法の数を数え、組み合わせ(nCr)は、順序が重要でないn個からr個の項目を選ぶ方法の数を数えます。 総項目数(n)と選ぶ項目数(r)を入力すると、この計算機は関連する両方の答えを一度に求めます。

計算式

• 順列: $P(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{\vA{n}!}{(\vA{n} - \vB{r})!}$ — 同等に、$\vA{n}$から始まる$\vB{r}$個の降順の数の積です: $\vA{n} \times (\vA{n}-1) \times \cdots \times (\vA{n}-\vB{r}+1)$。
• 組み合わせ: $C(\vA{n}, \vB{r}) = \frac{P(\vA{n}, \vB{r})}{\vB{r}!}$ — 同じ順列の数を、その同じ$\vB{r}$個の項目自体が並び替えられる$\vB{r}!$通りで割ったもの(組み合わせでは順序が重要でないためです)。

計算例

10個のグループから3個を選ぶ、順序が重要な場合(順列):

$$P(10,3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

同じ選択で順序が重要でない場合(組み合わせ):

$$C(10,3) = 720 \div 3! = 720 \div 6 = 120$$

実世界での確認

49個から6個を選ぶ宝くじの抽選ですべての6つの数字が一致する確率は、C(49,6)分の1 — 正確に13,983,816分の1です — 数字が引かれる順序は当選かどうかを変えないためです。