信頼区間計算機

この計算機の仕組み

信頼区間とは、標本自身の平均を中心に構築された、真の母集団平均を含む可能性が高い値の範囲です。 標本の平均、標準偏差、サイズを入力し、信頼度を選ぶと、この計算機は実際の母集団平均がおそらく収まる範囲を求めます。

例えば「95%信頼区間」とは、同じサンプリングプロセスを何度も繰り返した場合、それが生成する区間の約95%が真の母集団平均を含むことを意味します。これは、真の平均がこの1つの特定の区間内に収まる確率が95%であることを意味するわけではありません — これはよくある技術的に誤った言い方です。より広い区間(より高い信頼度)はより広い網を張り、真の平均を含む可能性が高くなりますが、より狭い区間はより正確ですが確実性は低くなります。

計算式

$$\vE{\text{標準誤差}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{誤差の範囲}} = \vC{z} \times \vE{\text{標準誤差}}$$ $$\text{信頼区間} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{誤差の範囲}}$$

ここで$\vA{s}$は標本の標準偏差、$\vB{n}$は標本サイズ、$\vC{z}$は選んだ信頼度の臨界値(標準正規分布から調べたもの)、$\vD{\bar{x}}$は標本平均です。標本サイズが大きいほど標準誤差(したがって区間全体)が縮小します。データが多いほど真の平均のより正確な見積もりが得られるためです。

計算例

25個の標本の平均が100、標準偏差が15で、**95%**の信頼度(臨界値z=1.96)の場合:

1. 標準誤差: $\vE{\text{標準誤差}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$。
2. 誤差の範囲: $\vF{\text{誤差の範囲}} = \vC{1.96} \times \vE{3} = \vF{5.88}$。
3. 信頼区間: $\text{信頼区間} = \vD{100} \pm \vF{5.88} = [94.12, 105.88]$。

つまり、真の母集団平均は(95%の信頼度で)おそらく94.12から105.88の間のどこかにあります。