行列計算機

この計算機の仕組み

行列とは、通常の算術とは異なる独自の代数規則に従って、1つの単位として足し算、引き算、掛け算、または変換できる数値の長方形グリッドです。 演算を選び、各グリッドの+/-の行・列ボタンを使って必要な次元にサイズを変更しながら行列A(演算が必要とする場合は行列Bも)を構築すると、この計算機は対応する規則を適用します。

足し算と引き算には両方の行列が正確に同じサイズである必要があります。掛け算には行列Aの列数が行列Bの行数と一致する必要があります(結果は行列Aの行数と行列Bの列数を取ります)。行列式は正方行列(行数と列数が同じ)にのみ存在します。転置は任意の形の行列に対して機能し、行と列を入れ替えます。

この計算機は、行簡約、逆行列、固有値は扱いません — これらはここでの演算とは真に異なる、はるかに大規模な取り組みです。

計算式

以下の例では各規則を明確に示すために2×2行列を使用します — 同じ規則は上のグリッドが対応する任意のサイズの行列に直接拡張されます。行列Aの要素を$\vA{a_{11}}, \vA{a_{12}}, \vA{a_{21}}, \vA{a_{22}}$、行列Bの要素を$\vB{b_{11}}, \vB{b_{12}}, \vB{b_{21}}, \vB{b_{22}}$とし、それぞれ次のように書きます:

$$A = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{12}} \\ \vA{a_{21}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \vB{b_{11}} & \vB{b_{12}} \\ \vB{b_{21}} & \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$$

• 足し算/引き算は一致する位置を1つずつ組み合わせます: $A \pm B = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} \pm \vB{b_{11}} & \vA{a_{12}} \pm \vB{b_{12}} \\ \vA{a_{21}} \pm \vB{b_{21}} & \vA{a_{22}} \pm \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• 掛け算は要素ごとでは「ありません」 — 結果の各要素は「行×列」の内積です: $AB = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{11}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{22}} \\ \vA{a_{21}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{21}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• 行列式は行列が面積をどれだけ拡大縮小するかを表す単一の数値です: $\det(A) = \vA{a_{11}}\vA{a_{22}} - \vA{a_{12}}\vA{a_{21}}$
• 転置は行列を主対角線を軸に反転させ、対角線以外の2つの要素を入れ替えます: $A^T = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{21}} \\ \vA{a_{12}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}$

計算例

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$と$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$を使用する場合:

1. 足し算: $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$。
2. 掛け算: 左上の要素は$1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$、右上は$1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$、左下は$3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$、右下は$3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$となり、$AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$が得られます。
3. Aの行列式: $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$。