Calculateur de Décomposition en Facteurs Premiers

Comment Fonctionne ce Calculateur

Chaque nombre entier supérieur à 1 peut être décomposé en un ensemble unique de nombres premiers multipliés ensemble — sa factorisation première. Saisissez un nombre entier, et ce calculateur trouve cette factorisation instantanément, ainsi que si le nombre lui-même est premier.

La Formule

Le Théorème Fondamental de l’Arithmétique garantit que chaque nombre entier N supérieur à 1 a exactement une factorisation première, à l’ordre près dans lequel les facteurs sont écrits :

$$\vA{N} = \vB{p_1}^{\vC{a_1}} \times \vB{p_2}^{\vC{a_2}} \times \cdots \times \vB{p_k}^{\vC{a_k}}$$

où chaque $\vB{p_i}$ est un nombre premier distinct et chaque $\vC{a_i}$ est combien de fois ce premier divise également N.

Ce calculateur trouve cette factorisation en utilisant la division par essai : en commençant à 2, il vérifie répétitivement si chaque nombre divise également ce qui reste, le divisant (et comptant combien de fois) chaque fois que c’est le cas, puis passant au candidat suivant. Une fois que le carré d’un candidat dépasse ce qui reste, tout ce qui reste doit lui-même être premier — tout facteur plus petit aurait déjà été trouvé :

$$\text{si } \vD{d}^2 > \vE{\text{valeur restante}}, \text{ alors } \vE{\text{valeur restante}} \text{ est premier}$$

Exemple Concret

Trouver la factorisation première de 360 :

1. 360 ÷ 2 = 180, ÷ 2 = 90, ÷ 2 = 45 (2 divise 3 fois ; 45 est impair, donc on continue).
2. 45 ÷ 3 = 15, ÷ 3 = 5 (3 divise 2 fois ; 5 n’est plus divisible par 3).
3. 5 reste, et aucun carré de diviseur suivant n’est ≤ 5, donc 5 lui-même est premier.
4. Résultat : 2³ × 3² × 5.