Calculateur de Matrices

Comment Fonctionne ce Calculateur

Une matrice est une grille rectangulaire de nombres qui peut être additionnée, soustraite, multipliée, ou transformée comme une seule unité, suivant son propre ensemble de règles algébriques distinctes de l’arithmétique ordinaire. Choisissez une opération, construisez la Matrice A (et la Matrice B, si l’opération en a besoin) en utilisant les boutons +/- de ligne et colonne pour redimensionner chaque grille aux dimensions dont vous avez besoin, et ce calculateur applique la règle correspondante.

L’addition et la soustraction nécessitent que les deux matrices soient exactement de la même taille. La multiplication nécessite que le nombre de colonnes de la Matrice A corresponde au nombre de lignes de la Matrice B (le résultat prend le nombre de lignes de la Matrice A et le nombre de colonnes de la Matrice B). Le déterminant n’existe que pour une matrice carrée (même nombre de lignes et colonnes). La transposée fonctionne sur une matrice de n’importe quelle forme, inversant ses lignes et colonnes.

Ce calculateur ne tente pas la réduction de lignes, les inverses de matrices, ou les valeurs propres — une entreprise véritablement différente et bien plus grande que les opérations ici.

La Formule

Les exemples ci-dessous utilisent des matrices 2x2 pour illustrer clairement chaque règle — les mêmes règles s’étendent directement à toute taille de matrice que la grille ci-dessus prend en charge. Soit la Matrice A avec les entrées $\vA{a_{11}}, \vA{a_{12}}, \vA{a_{21}}, \vA{a_{22}}$ et la Matrice B avec les entrées $\vB{b_{11}}, \vB{b_{12}}, \vB{b_{21}}, \vB{b_{22}}$, chacune écrite comme

$$A = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{12}} \\ \vA{a_{21}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \vB{b_{11}} & \vB{b_{12}} \\ \vB{b_{21}} & \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$$

• Addition/Soustraction combinent les positions correspondantes une à la fois : $A \pm B = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} \pm \vB{b_{11}} & \vA{a_{12}} \pm \vB{b_{12}} \\ \vA{a_{21}} \pm \vB{b_{21}} & \vA{a_{22}} \pm \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• La multiplication N’EST PAS élément par élément — chaque entrée du résultat est un produit scalaire « ligne fois colonne » : $AB = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{11}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{22}} \\ \vA{a_{21}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{21}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• Le déterminant est un nombre unique décrivant combien la matrice met à l’échelle la surface : $\det(A) = \vA{a_{11}}\vA{a_{22}} - \vA{a_{12}}\vA{a_{21}}$
• La transposée retourne la matrice à travers sa diagonale principale, échangeant les deux entrées hors diagonale : $A^T = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{21}} \\ \vA{a_{12}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}$

Exemple Concret

En utilisant $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ et $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ :

1. Addition : $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$.
2. Multiplication : l’entrée en haut à gauche est $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$, celle en haut à droite est $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$, celle en bas à gauche est $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$, et celle en bas à droite est $3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$, donnant $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$.
3. Déterminant de A : $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$.