Calculadora de Matrices

Cómo funciona esta calculadora

Una matriz es una cuadrícula rectangular de números que se puede sumar, restar, multiplicar o transformar como una sola unidad, siguiendo su propio conjunto de reglas de álgebra distintas de la aritmética ordinaria. Elige una operación, construye la Matriz A (y la Matriz B, si la operación la necesita) usando los botones +/- de fila y columna para ajustar cada cuadrícula al tamaño que necesites, y esta calculadora aplica la regla correspondiente.

La suma y la resta requieren que ambas matrices tengan exactamente el mismo tamaño. La multiplicación requiere que el número de columnas de la Matriz A coincida con el número de filas de la Matriz B (el resultado toma el número de filas de la Matriz A y el número de columnas de la Matriz B). El determinante solo existe para una matriz cuadrada (mismo número de filas y columnas). La transpuesta funciona con una matriz de cualquier forma, intercambiando sus filas y columnas.

Esta calculadora no intenta hacer reducción por filas, inversas de matrices ni valores propios — un proyecto genuinamente distinto y mucho más grande que las operaciones de aquí.

La fórmula

Los ejemplos a continuación usan matrices de 2x2 para ilustrar cada regla con claridad — las mismas reglas se aplican directamente a cualquier tamaño de matriz que admita la cuadrícula de arriba. Sean los elementos de la Matriz A $\vA{a_{11}}, \vA{a_{12}}, \vA{a_{21}}, \vA{a_{22}}$ y los elementos de la Matriz B $\vB{b_{11}}, \vB{b_{12}}, \vB{b_{21}}, \vB{b_{22}}$, cada una escrita como

$$A = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{12}} \\ \vA{a_{21}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \vB{b_{11}} & \vB{b_{12}} \\ \vB{b_{21}} & \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$$

• Suma/Resta combina las posiciones correspondientes una por una: $A \pm B = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} \pm \vB{b_{11}} & \vA{a_{12}} \pm \vB{b_{12}} \\ \vA{a_{21}} \pm \vB{b_{21}} & \vA{a_{22}} \pm \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• La multiplicación NO es elemento por elemento — cada entrada del resultado es un producto punto de “fila por columna”: $AB = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{11}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{22}} \\ \vA{a_{21}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{21}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• El determinante es un solo número que describe cuánto escala el área la matriz: $\det(A) = \vA{a_{11}}\vA{a_{22}} - \vA{a_{12}}\vA{a_{21}}$
• La transpuesta invierte la matriz a través de su diagonal principal, intercambiando las dos entradas fuera de la diagonal: $A^T = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{21}} \\ \vA{a_{12}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}$

Ejemplo resuelto

Usando $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$:

1. Suma: $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$.
2. Multiplicación: la entrada superior izquierda es $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$, la superior derecha es $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$, la inferior izquierda es $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$, y la inferior derecha es $3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$, dando $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$.
3. Determinante de A: $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$.