Dreiecksrechner

So Funktioniert Dieser Rechner

Die Fläche, der Umfang und alle drei Innenwinkel eines Dreiecks können allein aus seinen drei Seitenlängen ermittelt werden, ohne eine Höhe oder einen Winkel direkt messen zu müssen. Geben Sie die drei Seiten ein (in welcher Einheit auch immer bequem ist — der Rechner rechnet intern um), und er liefert die Fläche, den Umfang, jeden Winkel, und zwei Klassifizierungen: nach Seitenlängen (gleichseitig, gleichschenklig, oder ungleichseitig) und nach Winkeln (spitzwinklig, rechtwinklig, oder stumpfwinklig).

Nicht jede drei Längen können tatsächlich ein Dreieck bilden. Die „Dreiecksungleichung“ verlangt, dass jede Seite kürzer ist als die Summe der anderen beiden — drei Trinkhalme der Länge 1, 2 und 10 können einfach nicht so angeordnet werden, dass sie sich an drei Ecken treffen, egal wie Sie sie neigen. Dieser Rechner prüft dies zuerst und erklärt klar, falls die von Ihnen eingegebenen Längen nicht funktionieren.

Die Formel

Die Fläche stammt aus der Heron-Formel, unter Verwendung des Halbumfangs s (die Hälfte des Umfangs):

$$\text{Fläche} = \sqrt{\vD{s}(\vD{s} - \vA{a})(\vD{s} - \vB{b})(\vD{s} - \vC{c})}$$

Jeder Winkel stammt aus dem Kosinussatz, gelöst nach dem Winkel gegenüber einer gegebenen Seite — zum Beispiel der Winkel gegenüber Seite a:

$$\text{Winkel A} = \cos^{-1}\left(\frac{\vB{b}^2 + \vC{c}^2 - \vA{a}^2}{2\vB{b}\vC{c}}\right)$$

Dieselbe Formel, mit rotierten Seiten, ergibt die Winkel B und C. Alle drei Winkel summieren sich immer zu genau 180°.

Beispielrechnung

Ein Dreieck mit den Seiten 7, 8 und 9:

1. Halbumfang: $(7 + 8 + 9) \div 2 = 12$.
2. Fläche: $\sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26{,}83$.
3. Winkel gegenüber der 7er-Seite: $\cos^{-1}\left(\frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \times 8 \times 9}\right) \approx 48{,}19°$.
4. Winkel gegenüber der 8er-Seite: $\approx 58{,}41°$.
5. Winkel gegenüber der 9er-Seite: $\approx 73{,}40°$ — der größte Winkel, aber immer noch unter 90°.

Alle drei Seiten haben unterschiedliche Längen und jeder Winkel ist unter 90°, daher ist dieses Dreieck ungleichseitig und spitzwinklig.