Prozentrechner

So Funktioniert Dieser Rechner

Ein Prozentsatz ist eine Möglichkeit, eine Zahl als Bruchteil von 100 auszudrücken. Dieser Rechner deckt die fünf am häufigsten gestellten Fragen ab:

• Was ist X% von Y? — zum Beispiel, um einen 20%-Rabatt auf einen Artikel für 50 $ zu berechnen, oder wie viel ein 15%-Trinkgeld auf eine Rechnung von 60 $ ausmacht.
• X ist wie viel Prozent von Y? — zum Beispiel herauszufinden, dass 45 richtige Antworten von 60 Fragen 75% sind.
• X ist Y% von was? — die „umgekehrte Prozentrechnung“-Frage. Zum Beispiel: Wenn eine Anzahlung von 45 $ 15% des Gesamtpreises war, betrug der volle Preis 300 $.
• Wie hoch ist die prozentuale Veränderung von X zu Y? — zum Beispiel, wie stark ein Preis, ein Gehalt oder eine Messung zwischen zwei Zeitpunkten gestiegen oder gesunken ist.
• Wie hoch ist die prozentuale Differenz zwischen X und Y? — wie weit zwei Werte relativ zu ihrem Durchschnitt auseinanderliegen, ohne einen davon als „Ausgangswert“ zu behandeln.

Wählen Sie die Frage, die dem entspricht, was Sie herausfinden möchten, geben Sie die beiden Zahlen ein, und der Rechner erledigt den Rest — Sie müssen sich nicht merken, welche Zahl oben im Bruch steht.

Die Formel

Alle drei Fragen ergeben sich aus derselben zugrunde liegenden Beziehung: Ein Prozentsatz ist ein Teil geteilt durch ein Ganzes, multipliziert mit 100. Dieselben zwei Farben verfolgen Teil und Ganzes über alle drei hinweg:

$$\text{Prozentsatz einer Zahl: } \vA{\text{Teil}} = \left(\frac{\vC{\text{Prozent}}}{100}\right) \times \vB{\text{Ganzes}}$$ $$\text{Wie Viel Prozent Eine Zahl von Einer Anderen Ist: } \vC{\text{Prozent}} = \left(\frac{\vA{\text{Teil}}}{\vB{\text{Ganzes}}}\right) \times 100$$ $$\text{Umgekehrte Prozentrechnung (Ganzes Finden): } \vB{\text{Ganzes}} = \frac{\vA{\text{Teil}}}{\vC{\text{Prozent}} \div 100}$$

Prozentuale Veränderung und prozentuale Differenz vergleichen jeweils zwei unabhängige Werte statt eines Teils und eines Ganzen, daher verwenden sie eigene Variablennamen statt Teil/Ganzes/Prozent wiederzuverwenden:

$$\text{Prozentuale Veränderung} = \left(\frac{\text{neu} - \text{ursprünglich}}{\text{ursprünglich}}\right) \times 100$$ $$\text{Prozentuale Differenz} = \left(\frac{|a - b|}{(|a| + |b|) \div 2}\right) \times 100$$

Die Formel der prozentualen Veränderung ist absichtlich vorzeichenbehaftet: Ein positives Ergebnis bedeutet, dass der Wert gestiegen ist, und ein negatives Ergebnis bedeutet, dass er gesunken ist. Deshalb erscheint „der Preis fiel um 25%“ als $-25$, nicht als $25$, in der Veränderungsberechnung.

Die prozentuale Differenz ist eine andere Frage als die prozentuale Veränderung: Veränderung ist gerichtet und wird gegenüber dem ersten (ursprünglichen) Wert gemessen, während Differenz symmetrisch ist — sie misst, wie weit zwei Werte relativ zu ihrem Durchschnitt auseinanderliegen, sodass ein Vertauschen der beiden Zahlen dasselbe Ergebnis liefert und das Ergebnis nie negativ ist. Verwenden Sie Veränderung, wenn ein Wert vor dem anderen kam; verwenden Sie Differenz, wenn Sie einfach zwei unabhängige Messungen vergleichen.

Beispielrechnung

Angenommen, der Preis einer Jacke steigt von 80 $ auf 92 $, und Sie möchten die prozentuale Erhöhung wissen.

1. Ziehen Sie den ursprünglichen vom neuen Wert ab: $92 - 80 = 12$.
2. Teilen Sie diese Differenz durch den ursprünglichen Wert: $12 \div 80 = 0{,}15$.
3. Multiplizieren Sie mit 100, um es als Prozentsatz auszudrücken: $0{,}15 \times 100 = 15$.

Der Preis stieg um 15%. Wäre die Jacke stattdessen von 80 $ auf 68 $ gefallen, ergäben dieselben drei Schritte $((68 - 80) \div 80) \times 100 = -15$, ein Rückgang um 15% — das Minuszeichen zeigt an, in welche Richtung sich der Wert bewegt hat.

Häufige Fehler

• Prozentuale Veränderung mit einer Prozentpunkt-Differenz verwechseln. Der Wechsel von einem Zinssatz von 10% zu einem von 12% ist eine Erhöhung um „2 Prozentpunkte“, aber eine „Erhöhung um 20%“ des Satzes selbst (2 ÷ 10 × 100) — beide Zahlen sind korrekt, beantworten aber unterschiedliche Fragen.
• Die falsche Basiszahl für einen Rückgang verwenden. Ein Wert, der um 20% fällt und dann um 20% steigt, kehrt NICHT zur ursprünglichen Zahl zurück, da die zweiten 20% auf den kleineren, bereits reduzierten Wert berechnet werden — die beiden Prozentsätze gelten für unterschiedliche Basisbeträge.
• „Prozent von“ und „prozentuale Veränderung“ verwechseln. „Was ist 15% von 80?“ (eine direkte Multiplikation) und „Um wie viel Prozent hat sich 80 verändert, um 92 zu erreichen?“ (eine Veränderungsberechnung) verwenden unterschiedliche Modi oben — die falsche für die gestellte Frage zu wählen, ergibt eine technisch korrekte, aber irrelevante Antwort.