Rechner für quadratische Gleichungen

So Funktioniert Dieser Rechner

Die quadratische Formel löst jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 nach x, unter Verwendung nur der drei Koeffizienten der Gleichung. Geben Sie a, b und c ein, und dieser Rechner findet jeden Wert von x, der die Gleichung wahr macht — einschließlich des Falls, in dem die Antwort komplexe statt reelle Zahlen enthält.

Eine quadratische Gleichung hat bei korrekter Zählung immer genau zwei Lösungen: zwei verschiedene reelle Zahlen, eine reelle Zahl doppelt gezählt (eine „doppelte Lösung“), oder ein Paar komplexer Zahlen. Welcher Fall zutrifft, hängt vollständig vom Vorzeichen der Diskriminante (dem Teil unter der Quadratwurzel) ab — dieser Rechner sagt Ihnen, welcher es ist, nicht nur die reinen Zahlen.

Die Formel

Für $\vA{a}x^2 + \vB{b}x + \vC{c} = 0$ (mit $\vA{a} \neq 0$):

$$x = \frac{-\vB{b} \pm \sqrt{\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}}}{2\vA{a}}$$

Der Term unter der Quadratwurzel, $\vB{b}^2 - 4\vA{a}\vC{c}$, wird Diskriminante genannt:

Beispielrechnung

Für $x^2 - 3x + 2 = 0$ ($\vA{a}=1$, $\vB{b}=-3$, $\vC{c}=2$):

1. Diskriminante: $(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$, was positiv ist, also gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
2. $x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$.
3. $x = \frac{4}{2} = 2$ oder $x = \frac{2}{2} = 1$.

Überprüfung: $(1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ und $(2)^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ — beide Lösungen stimmen.