Z-Wert-Rechner

So Funktioniert Dieser Rechner

Ein Z-Score misst, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert einer Verteilung liegt. Geben Sie einen Wert, den Mittelwert der Verteilung, und deren Standardabweichung ein, um den Z-Score und das entsprechende Perzentil zu finden — welcher Anteil einer Normalverteilung bei oder unter diesem Wert liegt.

Ein Z-Score von 0 bedeutet, dass der Wert genau dem Mittelwert entspricht. Positive Z-Scores liegen über dem Mittelwert; negative Z-Scores liegen darunter. Da etwa 68% einer Normalverteilung innerhalb 1 Standardabweichung des Mittelwerts liegen, 95% innerhalb von 2, und 99,7% innerhalb von 3, gibt ein Z-Score allein ein sofortiges Gefühl dafür, wie ungewöhnlich ein Wert ist.

Die Formel

$$\text{Z-Score} = \frac{\vA{\text{Wert}} - \vB{\text{Mittelwert}}}{\vC{\text{Standardabweichung}}}$$

Das Perzentil stammt aus der kumulativen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung — der Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus dieser Verteilung gezogener Wert bei oder unter dem eingegebenen Z-Score liegt, hier berechnet über eine etablierte Polynomnäherung der Fehlerfunktion.

Beispielrechnung

Ein IQ-Wert von 115, wobei IQ-Werte einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von 15 haben:

1. Z-Score: $\vA{115} - \vB{100} = 15$, dann $15 \div \vC{15} = 1{,}0$.
2. Perzentil: ein Z-Score von genau 1 entspricht dem 84,13. Perzentil — dieser Wert ist höher als etwa 84% der Verteilung.