Konfidenzintervall-Rechner

So Funktioniert Dieser Rechner

Ein Konfidenzintervall ist ein Wertebereich, aufgebaut um den Mittelwert einer Stichprobe, der wahrscheinlich den wahren Populationsmittelwert enthält. Geben Sie den Mittelwert, die Standardabweichung und die Größe einer Stichprobe ein, wählen Sie ein Konfidenzniveau, und dieser Rechner ermittelt den Bereich, in dem der tatsächliche Populationsmittelwert wahrscheinlich liegt.

Ein „95%-Konfidenzintervall“ bedeutet zum Beispiel, dass, wenn Sie denselben Stichprobenprozess viele Male wiederholen würden, etwa 95 % der daraus resultierenden Intervalle den wahren Populationsmittelwert enthalten würden. Es bedeutet nicht, dass eine Wahrscheinlichkeit von 95 % besteht, dass der wahre Mittelwert innerhalb dieses einen konkreten Intervalls liegt — eine gängige, technisch falsche Formulierung. Ein breiteres Intervall (höheres Konfidenzniveau) wirft ein weiteres Netz aus und enthält wahrscheinlicher den wahren Mittelwert; ein engeres Intervall ist präziser, aber weniger sicher.

Die Formel

$$\vE{\text{Standardfehler}} = \frac{\vA{s}}{\sqrt{\vB{n}}}$$ $$\vF{\text{Fehlerspanne}} = \vC{z} \times \vE{\text{Standardfehler}}$$ $$\text{Konfidenzintervall} = \vD{\bar{x}} \pm \vF{\text{Fehlerspanne}}$$

Wobei $\vA{s}$ die Standardabweichung der Stichprobe ist, $\vB{n}$ die Stichprobengröße, $\vC{z}$ der kritische Wert für das gewählte Konfidenzniveau (aus der Standardnormalverteilung abgelesen), und $\vD{\bar{x}}$ der Stichprobenmittelwert. Eine größere Stichprobengröße verkleinert den Standardfehler — und damit das gesamte Intervall —, da mehr Daten eine präzisere Schätzung des wahren Mittelwerts ergeben.

Beispielrechnung

Eine Stichprobe von 25 Elementen hat einen Mittelwert von 100 und eine Standardabweichung von 15, bei einem Konfidenzniveau von 95 % (ein kritischer Wert von z = 1,96):

1. Standardfehler: $\vE{\text{Standardfehler}} = \vA{15} \div \sqrt{\vB{25}} = \vE{3}$.
2. Fehlerspanne: $\vF{\text{Fehlerspanne}} = \vC{1{,}96} \times \vE{3} = \vF{5{,}88}$.
3. Konfidenzintervall: $\text{Konfidenzintervall} = \vD{100} \pm \vF{5{,}88} = [94{,}12, 105{,}88]$.

Der wahre Populationsmittelwert liegt also wahrscheinlich (mit 95 % Konfidenz) irgendwo zwischen 94,12 und 105,88.