Zahlensystem-Umrechner

So Funktioniert Dieser Rechner

Eine Zahlenbasis (oder „Radix“) gibt an, wie viele verschiedene Ziffern ein Zahlensystem verwendet, bevor es zur nächsten Stelle übergeht — Dezimal verwendet 10 (0–9), Binär verwendet 2 (0–1), Oktal verwendet 8 (0–7), und Hexadezimal verwendet 16 (0–9 dann A–F). Geben Sie eine ganze Zahl in einer dieser vier Basen ein, und dieser Rechner zeigt denselben Wert in allen vier gleichzeitig geschrieben.

Binär ist, wie Computer jeden Wert intern darstellen (jede Ziffer ist ein „Bit“); Hexadezimal ist eine gängige Kurzschreibweise für Binär in der Programmierung (jede Hexadezimalziffer steht für genau 4 Binärziffern, ist also weit kompakter zu lesen und einzutippen); Oktal taucht in älteren Unix-Dateiberechtigungen und einigen systemnahen Kontexten auf. Dezimal ist einfach das alltägliche Zehnersystem.

Die Formel

Jedes Stellenwertsystem funktioniert auf dieselbe Weise: Jede Ziffer wird mit der Basis hoch ihrer Stellenwert-Potenz multipliziert, dann summiert:

$$\vA{\text{Wert}} = \sum_{i=0}^{n} d_i \times \vB{\text{Basis}}^i$$

wobei $d_i$ die Ziffer an Position $i$ ist (gezählt ab 0 an der Ziffer ganz rechts). Die Umrechnung in eine andere Basis teilt den Dezimalwert wiederholt durch die neue Basis und protokolliert jeden Rest — die Umkehrung der obigen Summe.

Beispielrechnung

Umrechnung der Binärzahl 11111111 in ihre anderen drei Basen:

1. Von rechts nach links gelesen, trägt jede 1 ihren Stellenwert bei: $2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 255$.
2. Dezimal: 255.
3. Oktal: Das wiederholte Teilen von 255 durch 8 (255 ÷ 8 = 31 Rest 7, 31 ÷ 8 = 3 Rest 7, 3 ÷ 8 = 0 Rest 3) liest die Reste von unten nach oben als 377.
4. Hexadezimal: 255 ÷ 16 = 15 Rest 15, 15 ÷ 16 = 0 Rest 15 — beide Reste sind 15 (F in Hex), was FF ergibt.