Matrizenrechner

So Funktioniert Dieser Rechner

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenraster, das als eine einzige Einheit addiert, subtrahiert, multipliziert oder transformiert werden kann, nach eigenen Algebraregeln, die sich von der gewöhnlichen Arithmetik unterscheiden. Wählen Sie eine Operation, erstellen Sie Matrix A (und Matrix B, falls die Operation sie benötigt) mit den +/- Zeilen- und Spaltenschaltflächen, um jedes Raster auf die benötigten Abmessungen zu ändern, und dieser Rechner wendet die passende Regel an.

Addition und Subtraktion erfordern, dass beide Matrizen genau dieselbe Größe haben. Multiplikation erfordert, dass die Spaltenzahl von Matrix A der Zeilenzahl von Matrix B entspricht (das Ergebnis übernimmt die Zeilenzahl von Matrix A und die Spaltenzahl von Matrix B). Die Determinante existiert nur für eine quadratische Matrix (gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten). Die Transponierte funktioniert für eine Matrix jeder Form und vertauscht ihre Zeilen und Spalten.

Dieser Rechner versucht keine Zeilenreduktion, Matrixinversen oder Eigenwerte — ein tatsächlich anderes, viel größeres Vorhaben als die hier gezeigten Operationen.

Die Formel

Die Beispiele unten verwenden 2x2-Matrizen, um jede Regel klar zu veranschaulichen — dieselben Regeln erweitern sich direkt auf jede Größe, die das obige Raster unterstützt. Sei Matrix A mit den Einträgen $\vA{a_{11}}, \vA{a_{12}}, \vA{a_{21}}, \vA{a_{22}}$ und Matrix B mit den Einträgen $\vB{b_{11}}, \vB{b_{12}}, \vB{b_{21}}, \vB{b_{22}}$, jeweils geschrieben als

$$A = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{12}} \\ \vA{a_{21}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} \vB{b_{11}} & \vB{b_{12}} \\ \vB{b_{21}} & \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$$

• Addition/Subtraktion kombinieren übereinstimmende Positionen einzeln: $A \pm B = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} \pm \vB{b_{11}} & \vA{a_{12}} \pm \vB{b_{12}} \\ \vA{a_{21}} \pm \vB{b_{21}} & \vA{a_{22}} \pm \vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• Multiplikation ist NICHT elementweise — jeder Eintrag des Ergebnisses ist ein „Zeile mal Spalte“-Skalarprodukt: $AB = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{11}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{12}}\vB{b_{22}} \\ \vA{a_{21}}\vB{b_{11}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{21}} & \vA{a_{21}}\vB{b_{12}} + \vA{a_{22}}\vB{b_{22}} \end{bmatrix}$
• Determinante ist eine einzige Zahl, die beschreibt, wie stark die Matrix die Fläche skaliert: $\det(A) = \vA{a_{11}}\vA{a_{22}} - \vA{a_{12}}\vA{a_{21}}$
• Transponierte spiegelt die Matrix an ihrer Hauptdiagonale und vertauscht die beiden Einträge außerhalb der Diagonale: $A^T = \begin{bmatrix} \vA{a_{11}} & \vA{a_{21}} \\ \vA{a_{12}} & \vA{a_{22}} \end{bmatrix}$

Beispielrechnung

Mit $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ und $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$:

1. Addition: $A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$.
2. Multiplikation: der obere linke Eintrag ist $1 \times 5 + 2 \times 7 = 19$, der obere rechte ist $1 \times 6 + 2 \times 8 = 22$, der untere linke ist $3 \times 5 + 4 \times 7 = 43$, und der untere rechte ist $3 \times 6 + 4 \times 8 = 50$, was $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$ ergibt.
3. Determinante von A: $1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$.